Ensino Médio ⇒ Inequação Quociente do 2º Grau Tópico resolvido

[janson]

Resolva a inequação: [tex3]\frac{6x^2+12x+17}{-2x^2+7x-5}\lt-1[/tex3]

[triplebig]

É fácil de se enrolar nesse tipo de questão, mas acredito que está tudo certinho. Se não tiver, pelo menos sei que o raciocínio está:

Resposta

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No numerador:

[tex3]\hspace{50pt}6x^2\,+\,12x\,+\,17[/tex3]


[tex3]\hspace{50pt}\Delta\,=\,b^2\,-\,4ac[/tex3]


[tex3]\hspace{50pt}\Delta\,=\,144\,-\,4(6)(17)\,=\,-264[/tex3]


Como [tex3]\Delta\,\lt\,0[/tex3], temos que a parábola não encosta o eixo das abscissas. E como [tex3]a\,\gt\,0[/tex3] , a parábola está voltada para cima, logo não importa qual o [tex3]x[/tex3] , [tex3]f(x)[/tex3] sempre será positivo. Assim, não preciso me preocupar com a inversão do sinal da inequação (na multiplicação deste polinômio)

Posso reescrever o númerador da seguinte maneira:


[tex3]\hspace{50pt}-2x^2\,+\,7x\,-\,5\,=\,(2x\,-\,5)(1\,-\,x)[/tex3]


Analisando, chamando esse polinômio de [tex3]P[/tex3]:


[tex3]\hspace{40pt}\begin{cases}x\,\gt\,\frac{5}{2}\,\,\Longrightarrow\,\,P\,\lt\,0 \\ 1\,\lt\,x\,\lt\,\frac{5}{2}\,\,\Longrightarrow\,\,P\,\gt\,0 \\ x\,\lt\,1\,\,\Longrightarrow\,\,P\,\lt\,0\end{cases}[/tex3]


I) Se [tex3]P\,\lt\,0[/tex3] , então [tex3]x\,\gt\,\frac{5}{2}\,\,\text{ou}\,\,x\,\lt\,1[/tex3] , e o sinal da inequação inverte na multiplicação.

Temos:


[tex3]\hspace{50pt}\frac{6x^2\,+\,12x\,+\,17}{-2x^2\,+\,7x\,-\,5}\,\lt\,-1[/tex3]


[tex3]\hspace{50pt}6x^2\,+\,12x\,+\,17\,\gt\,2x^2\,-\,7x\,+\,5[/tex3]


[tex3]\hspace{50pt}4x^2\,+\,19x\,+\,12\,\gt\,0[/tex3]


Que possui raízes [tex3]\frac{5}{8}[/tex3] ou [tex3]{-}4[/tex3]. Como queremos apenas resultados positivos, analisando o gráfico dessa inequação (lembrando que a concavidade está para cima), notaremos que será positivo para [tex3]x\,\lt\,-4\,\,\text{ou}\,\,x\,\gt\,\frac{5}{8}[/tex3]

Olhando os iniciais valores de [tex3]x[/tex3] , precisamos fazer uma interseção entre os parâmetros, ou seja, temos que [tex3]x\,\gt\,\frac{5}{2}\,\,\text{ou}\,\,x\,\lt\,1[/tex3] e, também, [tex3]x\,\lt\,-4\,\,\text{ou}\,\,x\,\gt\,\frac{5}{8}[/tex3] . Fazendo a interseção dessas duas partes, obtemos a primeira parte da resposta:


[tex3]\hspace{50pt}x\,\gt\,\frac{5}{2}\,\,\cup\,\,x\,\lt\,-4[/tex3]


II) Se [tex3]P\,\gt\,0[/tex3], então [tex3]1\,\lt\,x\,\lt\,\frac{5}{2}[/tex3]

Assim:


[tex3]\hspace{50pt}\frac{6x^2\,+\,12x\,+\,17}{-2x^2\,+\,7x\,-\,5}\,\lt\,-1[/tex3]


[tex3]\hspace{50pt}6x^2\,+\,12x\,+\,17\,\lt\,2x^2\,-\,7x\,+\,5[/tex3]


[tex3]\hspace{50pt}4x^2\,+\,19x\,+\,12\,\lt\,0[/tex3]


Como antes, verificamos que está conta ficará negativa se [tex3]{-}4\,\lt\,x\,\lt\,\frac{5}{8}[/tex3]. Note que entre este parametro e o primeira não há interseção, assim, no segundo caso não há resposta.


Assim, a nossa resposta, se nada estiver errado, é a união entre estas duas respostas:


[tex3]\left]-\infty\,,\,-4\right[\cup\left]\frac{5}{2}\,,\,+\infty\right[[/tex3]