Ensino Superior ⇒ Campo Magnetico Fio Finito

[EngEletrica]

Pessoal estou tentando fazer um exercicio de eletromagnetismo relacionado a campo magnetico em um fio Finito. Eu estudei as demonstraçoes usando a lei de biot-savart para fio infinito, porem neste exercicio é dado um fio finito e nao consigo desenvolver.

Utilize a Lei de Biot-Savart para calcular o campo magnético no ponto (3;3;3) gerado pelo filamento de corrente de tamanho finito mostrado na figura a seguir. O filamento conduz uma corrente de 50 A e situa-se entre os pontos (0,0,2) e (0,0,4). Valores em metros.

Resposta

---

[tex3]H=(-0,3043\,\,\vec{a}_x + 0,3043\,\,\vec{a}_y)\,\,A/m[/tex3]

[jedi]

então pela lei de bio savart

[tex3]dB=\frac{\mu_0 I}{4\pi}.\frac{\vec{dL}\times \vec{r}}{|r|^2}[/tex3]

para este caso

[tex3]\vec{dL}=(0,0,dL)[/tex3]

[tex3]\vec{r}=(3,3,3)-(0,0,L)=(3,3,3-L)[/tex3]

[tex3]dB=\frac{\mu_0 I}{4\pi}.\frac{(0,0,dL)\times (3,3,3-L)}{|\sqrt{3^2+3^2+(3-L)^2}|^2}[/tex3]

[tex3]dB=\frac{\mu_0 I}{4\pi}.\frac{3.dL.\vec{a_y}-3.dL.\vec{a_x}}{3^2+3^2+(3-L)^2}[/tex3]

[tex3]dB=\frac{\mu_0 I}{4\pi}.\frac{3.\vec{a_y}-3\vec{a_x}}{3^2+3^2+(3-L)^2}dL[/tex3]

[tex3]B=\int_{2}^{4}\frac{\mu_0 I}{4\pi}.\frac{3\vec{a_y}-3\vec{a_x}}{3^2+3^2+(3-L)^2}dL[/tex3]

[tex3]B=\frac{\mu_0 I}{4\pi}.\int_{2}^{4}\frac{3\vec{a_y}-3\vec{a_x}}{3^2+3^2+(3-L)^2}dL[/tex3]

[tex3]B=\frac{\mu_0 I}{4\pi}.\frac{1}{6}.\int_{2}^{4}\frac{\vec{a_y}-\vec{a_x}}{1+(\frac{3-L}{\sqrt2.3})^2}dL[/tex3]

[tex3]\frac{3-L}{\sqrt2.3}=u[/tex3]

[tex3]\frac{dL}{3\sqrt2}=-du[/tex3]

[tex3]B=-\frac{\mu_0 I}{4\pi}.\frac{1}{6}.\int\frac{\vec{a_y}-\vec{a_x}}{1+u^2}3\sqrt2du[/tex3]

[tex3]B=-\frac{\mu_0 I}{4\pi}.\frac{\sqrt2}{2}.(\vec{a_y}-\vec{a_x})\int\frac{1}{1+u^2}du[/tex3]

[tex3]B=-\frac{\mu_0 I}{4\pi}.\frac{\sqrt2}{2}.\arctan(u)(\vec{a_y}-\vec{a_x})[/tex3]

[tex3]B=-\frac{\mu_0 I}{4\pi}.\frac{\sqrt2}{2}.\arctan\left(\frac{3-L}{\sqrt2.3}\right)\Bigg|_{2}^{4}(\vec{a_y}-\vec{a_x})[/tex3]

[tex3]B=-\frac{\mu_0 I}{4\pi}.\frac{\sqrt2}{2}.\left(\arctan\frac{3-4}{\sqrt2.3}-\arctan\frac{3-2}{\sqrt2.3}\right)(\vec{a_y}-\vec{a_x})[/tex3]

[tex3]B=\frac{\mu_0 I}{4\pi}.0,3274.(\vec{a_y}-\vec{a_x})[/tex3]

[EngEletrica]

então pela lei de bio savart

[tex3]dB=\frac{\mu_0 I}{4\pi}.\frac{\vec{dL}\times \vec{r}}{|r|^2}[/tex3]

para este caso

[tex3]\vec{dL}=(0,0,dL)[/tex3]

[tex3]\vec{r}=(3,3,3)-(0,0,L)=(3,3,3-L)[/tex3]

[tex3]dB=\frac{\mu_0 I}{4\pi}.\frac{(0,0,dL)\times (3,3,3-L)}{|\sqrt{3^2+3^2+(3-L)^2}|^2}[/tex3]

[tex3]dB=\frac{\mu_0 I}{4\pi}.\frac{3.dL.\vec{a_y}-3.dL.\vec{a_x}}{3^2+3^2+(3-L)^2}[/tex3]

[tex3]dB=\frac{\mu_0 I}{4\pi}.\frac{3.\vec{a_y}-3\vec{a_x}}{3^2+3^2+(3-L)^2}dL[/tex3]

[tex3]B=\int_{2}^{4}\frac{\mu_0 I}{4\pi}.\frac{3\vec{a_y}-3\vec{a_x}}{3^2+3^2+(3-L)^2}dL[/tex3]

[tex3]B=\frac{\mu_0 I}{4\pi}.\int_{2}^{4}\frac{3\vec{a_y}-3\vec{a_x}}{3^2+3^2+(3-L)^2}dL[/tex3]

[tex3]B=\frac{\mu_0 I}{4\pi}.\frac{1}{6}.\int_{2}^{4}\frac{\vec{a_y}-\vec{a_x}}{1+(\frac{3-L}{\sqrt2.3})^2}dL[/tex3]

[tex3]\frac{3-L}{\sqrt2.3}=u[/tex3]

[tex3]\frac{dL}{3\sqrt2}=-du[/tex3]

[tex3]B=-\frac{\mu_0 I}{4\pi}.\frac{1}{6}.\int\frac{\vec{a_y}-\vec{a_x}}{1+u^2}3\sqrt2du[/tex3]

[tex3]B=-\frac{\mu_0 I}{4\pi}.\frac{\sqrt2}{2}.(\vec{a_y}-\vec{a_x})\int\frac{1}{1+u^2}du[/tex3]

[tex3]B=-\frac{\mu_0 I}{4\pi}.\frac{\sqrt2}{2}.\arctan(u)(\vec{a_y}-\vec{a_x})[/tex3]

[tex3]B=-\frac{\mu_0 I}{4\pi}.\frac{\sqrt2}{2}.\arctan\left(\frac{3-L}{\sqrt2.3}\right)\Bigg|_{2}^{4}(\vec{a_y}-\vec{a_x})[/tex3]

[tex3]B=-\frac{\mu_0 I}{4\pi}.\frac{\sqrt2}{2}.\left(\arctan\frac{3-4}{\sqrt2.3}-\arctan\frac{3-2}{\sqrt2.3}\right)(\vec{a_y}-\vec{a_x})[/tex3]

[tex3]B=\frac{\mu_0 I}{4\pi}.0,3274.(\vec{a_y}-\vec{a_x})[/tex3]

Boa tarde .. obrigado por me responder ,mas não é essa a resposta, parece que tem que usar a fórmula I/4piR (sena2-sena1) só que não estou conseguindo relacionar essas ângulos e também achar esse R que eu acho que seria a distancia radial né ?
Obrigado

[jedi]

Olá

houve uma falha na minha resolução com relação a lei de bio-savart que na verdae é

[tex3]dB=\frac{\mu_0 I}{4\pi}.\frac{\vec{dL}\times \hat{r}}{|r|^2}[/tex3]

ou seja aquele [tex3]\hat{r}[/tex3] é o vetor direção de [tex3]\vec{r}[/tex3] com comprimento unitário portanto na integral ficaria

[tex3]dB=\frac{\mu_0 I}{4\pi}.\frac{(0,0,dL)\times (3,3,3-L)}{(3^2+3^2+(3-L)^2)^\frac{3}{2}}[/tex3]

[tex3]B=\int_{2}^{4}\frac{\mu_0 I}{4\pi}.\frac{3\vec{a_y}-3\vec{a_x}}{(3^2+3^2+(3-L)^2)^{\frac{3}{2}}}dL[/tex3]

[tex3]B=\frac{\mu_0 I}{4\pi}.3(\vec{a_y}-\vec{a_x})\int_{2}^{4}\frac{1}{(2.3^2+(3-L)^2)^{\frac{3}{2}}}dL[/tex3]

[tex3]B=\frac{\mu_0 I}{4\pi}.\frac{3}{2\sqrt2.3^3}(\vec{a_y}-\vec{a_x})\int_{2}^{4}\frac{1}{(1+(\frac{3-L}{3\sqrt2})^2)^{\frac{3}{2}}}dL[/tex3]

fazendo

[tex3]\tan(\theta)=\frac{3-L}{3\sqrt2}[/tex3]

[tex3](1+\tan^2\theta)d\theta=-\frac{dL}{3\sqrt2}[/tex3]

[tex3]B=-\frac{\mu_0 I}{4\pi}.\frac{1}{2.\sqrt2.3^2}(\vec{a_y}-\vec{a_x})\int\frac{3\sqrt2(1+\tan^2\theta)}{(1+\tan^2\theta)^{\frac{3}{2}}}d\theta[/tex3]

[tex3]B=-\frac{\mu_0 I}{4\pi}.\frac{1}{6}(\vec{a_y}-\vec{a_x})\int\frac{d\theta}{\sqrt{1+\tan^2\theta}}[/tex3]

[tex3]B=-\frac{\mu_0 I}{4\pi}.\frac{1}{6}(\vec{a_y}-\vec{a_x})\int\frac{d\theta}{\sqrt{\frac{1}{cos^2\theta}}}[/tex3]

[tex3]B=-\frac{\mu_0 I}{4\pi}.\frac{1}{6}(\vec{a_y}-\vec{a_x})\int cos\theta.d\theta[/tex3]

[tex3]B=-\frac{\mu_0 I}{4\pi}.\frac{1}{6}(\vec{a_y}-\vec{a_x})sen\theta[/tex3]

[tex3]B=-\frac{\mu_0 I}{4\pi}.\frac{1}{6}(\vec{a_y}-\vec{a_x})sen\left(\arctan\frac{3-L}{3\sqrt2}\right)\Bigg|^{4}_{2}[/tex3]

[tex3]B=-\frac{\mu_0 I}{4\pi}.\frac{1}{6}(\vec{a_y}-\vec{a_x})\left(sen\left(\arctan\frac{3-4}{3\sqrt2}\right)-sen\left(\arctan\frac{3-2}{3\sqrt2}\right)\right)[/tex3]

[tex3]B=\mu_0 .0,30427(\vec{a_y}-\vec{a_x})[/tex3]

[EngEletrica]

Olá

houve uma falha na minha resolução com relação a lei de bio-savart que na verdae é

[tex3]dB=\frac{\mu_0 I}{4\pi}.\frac{\vec{dL}\times \hat{r}}{|r|^2}[/tex3]

ou seja aquele [tex3]\hat{r}[/tex3] é o vetor direção de [tex3]\vec{r}[/tex3] com comprimento unitário portanto na integral ficaria

[tex3]dB=\frac{\mu_0 I}{4\pi}.\frac{(0,0,dL)\times (3,3,3-L)}{(3^2+3^2+(3-L)^2)^\frac{3}{2}}[/tex3]

[tex3]B=\int_{2}^{4}\frac{\mu_0 I}{4\pi}.\frac{3\vec{a_y}-3\vec{a_x}}{(3^2+3^2+(3-L)^2)^{\frac{3}{2}}}dL[/tex3]

[tex3]B=\frac{\mu_0 I}{4\pi}.3(\vec{a_y}-\vec{a_x})\int_{2}^{4}\frac{1}{(2.3^2+(3-L)^2)^{\frac{3}{2}}}dL[/tex3]

[tex3]B=\frac{\mu_0 I}{4\pi}.\frac{3}{2\sqrt2.3^3}(\vec{a_y}-\vec{a_x})\int_{2}^{4}\frac{1}{(1+(\frac{3-L}{3\sqrt2})^2)^{\frac{3}{2}}}dL[/tex3]

fazendo

[tex3]\tan(\theta)=\frac{3-L}{3\sqrt2}[/tex3]

[tex3](1+\tan^2\theta)d\theta=-\frac{dL}{3\sqrt2}[/tex3]

[tex3]B=-\frac{\mu_0 I}{4\pi}.\frac{1}{2.\sqrt2.3^2}(\vec{a_y}-\vec{a_x})\int\frac{3\sqrt2(1+\tan^2\theta)}{(1+\tan^2\theta)^{\frac{3}{2}}}d\theta[/tex3]

[tex3]B=-\frac{\mu_0 I}{4\pi}.\frac{1}{6}(\vec{a_y}-\vec{a_x})\int\frac{d\theta}{\sqrt{1+\tan^2\theta}}[/tex3]

[tex3]B=-\frac{\mu_0 I}{4\pi}.\frac{1}{6}(\vec{a_y}-\vec{a_x})\int\frac{d\theta}{\sqrt{\frac{1}{cos^2\theta}}}[/tex3]

[tex3]B=-\frac{\mu_0 I}{4\pi}.\frac{1}{6}(\vec{a_y}-\vec{a_x})\int cos\theta.d\theta[/tex3]

[tex3]B=-\frac{\mu_0 I}{4\pi}.\frac{1}{6}(\vec{a_y}-\vec{a_x})sen\theta[/tex3]

[tex3]B=-\frac{\mu_0 I}{4\pi}.\frac{1}{6}(\vec{a_y}-\vec{a_x})sen\left(\arctan\frac{3-L}{3\sqrt2}\right)\Bigg|^{4}_{2}[/tex3]

[tex3]B=-\frac{\mu_0 I}{4\pi}.\frac{1}{6}(\vec{a_y}-\vec{a_x})\left(sen\left(\arctan\frac{3-4}{3\sqrt2}\right)-sen\left(\arctan\frac{3-2}{3\sqrt2}\right)\right)[/tex3]

[tex3]B=\mu_0 .0,30427(\vec{a_y}-\vec{a_x})[/tex3]

Muito obrigado por responder.. só vou fazer mais uma pergunta, teria como resolver sem essa integral toda, apenas usando a fórmula I/4piR (sena2-sena1) e esses ângulos pelo gráfico ? Como ficaria se tiver

[jedi]

Então

você pode usar a formula

[tex3]B=\frac{\mu_0.I}{4\pi.R}(sen\theta_2-sen\theta_1)[/tex3]

tomando como referência o ponto (0,0,3) que é o centro do fio logo R será

[tex3]\vec{R}=(3,3,3)-(0,0,3)=(3,3,0)[/tex3]

[tex3]R=\sqrt{3^2+3^2}=3\sqrt2[/tex3]

o vetor B será perpendicular ao vetor R porém sua componente na direção z também será igual à 0 portanto será um vetor do tipo [tex3](a,b,0)[/tex3]
por ser perpendicular a R, pelo produto escalar

[tex3](3,3,0)(a,b,0)=0[/tex3]

[tex3]3a+3b=0[/tex3]

[tex3]a=-b[/tex3]

[tex3](-b,b,0)[/tex3]

como o que nos interessa é apenas sua direção, então pegamos seu valor unitário, ou seja modulo igual a 1

[tex3]\frac{(-b,b,0)}{\sqrt{b^2+(-b)^2}}=\left(\frac{1}{\sqrt2},-\frac{1}{\sqrt2},0\right)[/tex3]

então o vetor B será igual ao modulo de B multiplicado por este vetor direção

[tex3]\vec{B}=\frac{\mu_0.I}{4\pi.R}(sen\theta_2-sen\theta_1).\left(\frac{1}{\sqrt2},-\frac{1}{\sqrt2},0\right)[/tex3]

quanto aos desenhos gráficos fica meio difícil de fazer porque teria que ser uma coisa 3D

[EngEletrica]

Então

você pode usar a formula

[tex3]B=\frac{\mu_0.I}{4\pi.R}(sen\theta_2-sen\theta_1)[/tex3]

tomando como referência o ponto (0,0,3) que é o centro do fio logo R será

[tex3]\vec{R}=(3,3,3)-(0,0,3)=(3,3,0)[/tex3]

[tex3]R=\sqrt{3^2+3^2}=3\sqrt2[/tex3]

o vetor B será perpendicular ao vetor R porém sua componente na direção z também será igual à 0 portanto será um vetor do tipo [tex3](a,b,0)[/tex3]
por ser perpendicular a R, pelo produto escalar

[tex3](3,3,0)(a,b,0)=0[/tex3]

[tex3]3a+3b=0[/tex3]

[tex3]a=-b[/tex3]

[tex3](-b,b,0)[/tex3]

como o que nos interessa é apenas sua direção, então pegamos seu valor unitário, ou seja modulo igual a 1

[tex3]\frac{(-b,b,0)}{\sqrt{b^2+(-b)^2}}=\left(\frac{1}{\sqrt2},-\frac{1}{\sqrt2},0\right)[/tex3]

então o vetor B será igual ao modulo de B multiplicado por este vetor direção

[tex3]\vec{B}=\frac{\mu_0.I}{4\pi.R}(sen\theta_2-sen\theta_1).\left(\frac{1}{\sqrt2},-\frac{1}{\sqrt2},0\right)[/tex3]

quanto aos desenhos gráficos fica meio difícil de fazer porque teria que ser uma coisa 3D

Ok.. muito obrigado pela atenção e resposta ,minha maior dificuldade estava sendo o vetor R e a componente Z.