MATEMÁTICA APLICADA ⇒ Probabilidade

[QUEMQUEM]

Num Grupo de 15 pessoas a probabilidade de haver pelo menos 2 (duas) pessoas que façam aniversário no mesmo dia é aproximadamente 25%. Nesse sentido, demonstre essa probabilidade.

[pietrotavares]

Prezado QUEMQUEM,

Temos duas possibilidades:
[tex3]P_1[/tex3]: Todas as pessoas fazem aniversários em dias diferentes...
[tex3]P_2[/tex3]: Ou não.

1) Cálculo de [tex3]P_1[/tex3]
1ª pessoa: probabilidade de ser um dia não escolhido ainda é, obviamente, 100%
2ª pessoa: probabilidade de ser um dia não escolhido ainda é, [tex3]1 - \frac{1}{365}[/tex3]
3ª pessoa: probabilidade de ser um dia não escolhido ainda é, [tex3]1 - \frac{2}{365}[/tex3]
...
[tex3]PA[/tex3] [tex3](1; 1 - \frac{1}{365}, ..., 1 - \frac{15}{365})[/tex3]
Como são acontecimentos dependentes, vamos multiplicar todos.
(Aqui é a parte difícil da questão)

[tex3]P_1 = \frac{365 * 364 * ... * 351}{365^{15}}[/tex3]
[tex3]P_1 = \frac{365!}{365^{15} *(350)!}[/tex3]
[tex3]P_1 = 0,747[/tex3]

2) Cálculo de [tex3]P_2[/tex3]

Como são eventos complementares,
[tex3]P_2 = 1 - P_1[/tex3]
[tex3]P_2 = 0,253[/tex3]
(25,3%)


Abraço.