Pré-Vestibular ⇒ (UFMG)- Volume e altura da pirâmide

[Liliana]

Corta-se uma pirâmide regular de base quadrangular e altura 4 cm por um plano paralelo ao plano da base, de maneira que os volumes dos dois sólidos obtidos sejam iguais. A altura do tronco de pirâmide obtido é, em centímetros,

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Resposta: letra b)
Alguém pode me explicar detalhadamente??

[pietrotavares]

Olá,

Veja que ao seccionar a pirâmide grande surge uma outra pirâmide pequena semelhante. Vamos resolver o exercício utilizando a razão de semelhança entre as duas.

Sejam:
[tex3]V_1[/tex3] e [tex3]H_1[/tex3] a área da base e a altura da pirâmide grande, respectivamente.
[tex3]V_2[/tex3] e [tex3]H_2[/tex3] a área da base e a altura da pirâmide pequena, respectivamente.

1) Razão de semelhança
[tex3]\begin{cases}
k = \frac{H_1}{H_2} \\
k^3 = \frac{V_1}{V_2}
\end{cases}[/tex3]
Logo, [tex3]\frac{H_1^3}{H_2^3} = \frac{V_1}{V_2}[/tex3]

2) Volumes
Observe que o volume do tronco é igual ao da pirâmide maior menos o da pirâmide menor.
[tex3]V_T = V_1 - V_2[/tex3]

Nós queremos que o volume desse tronco seja igual a [tex3]V_2[/tex3], logo:
[tex3]V_1 - V_2 = V_2[/tex3]
[tex3]V_1 = 2 V_2[/tex3]
[tex3]\frac{V_1}{V_2} = 2[/tex3]

3) Colocando em função das alturas
[tex3]\frac{V_1}{V_2} = 2[/tex3]
[tex3]k^3 = 2[/tex3]
[tex3]\frac{H_1^3}{H_2^3} = 2[/tex3]

Do enunciado: [tex3]H_1 = 4[/tex3].
[tex3]\frac{4^3}{H_2^3} = 2[/tex3]
[tex3]H_2^3 = {32}[/tex3]
[tex3]H_2 = \sqrt[3]{32}[/tex3]
[tex3]H_2 = 2 \sqrt[3]{4}[/tex3]

4) Por fim, a altura que queremos
Queremos: [tex3]H_1 - H_2[/tex3]
[tex3]\boxed{4 - 2 \sqrt[3]{4}}[/tex3]

Espero que tenha ficado claro.

[Liliana]

Muito obrigada!!!