IME / ITA ⇒ (IME - 1983) Sistema de Equações Trigonométricas

[Cláudio02]

Obtenha uma relação entre [tex3]a[/tex3], [tex3]b[/tex3] e [tex3]c[/tex3], eliminando [tex3]x[/tex3] entre as duas equações abaixo:

[tex3]a \cdot \sen x - b \cdot \cos x = \frac{1}{2} c\ sen 2x[/tex3]
[tex3]a\cdot cos x + b \cdot sen x = c \cdot cos 2x[/tex3]

[Auto Excluído (ID:12031)]

seja [tex3]z = a - bi[/tex3]
[tex3]w = cis (x) = cos(x) + i sen(x)[/tex3]

então [tex3]z*w = acos(x) + bsen(x) + i(a sen(x) - b cos(x))[/tex3]

nosso sistema é então equivalente a [tex3]z*w = c*cos(2x) + i c \frac{\sin (2x)}{2}= \frac{c}{2}(cis(2x) + cos(2x))[/tex3]

de onde

[tex3]\frac{2z*w}{c} = w^2 + \frac{(w^2 + \bar{w^2})}2[/tex3]

como [tex3]w \bar{w} = 1[/tex3]

[tex3]\frac{2z*w}{c} = \frac{3w^2}{2} + \frac{1}{2w^2}[/tex3]

[tex3]\frac{4z}{c} = 3w + \frac{1}{w^3}[/tex3]

[tex3]\frac{4\bar{z}}{c} = \frac{3}w + w^3[/tex3]

de onde

[tex3]\frac{4}{c}(z + \bar{z}) = (w + \frac1w)^3[/tex3]

como temos números reais dos dois lados podemos tirar a raíz cúbica dos dois lados sem problemas

[tex3]2\sqrt[3]{\frac{a}c} = w + \frac1w = 2cos(x)[/tex3]

de onde tiramos o surpreendente resultado que [tex3]cos(x) = \sqrt[3]{\frac{a}{c}}[/tex3]
agora deve ser fácil, só substituir essa expressão na primeira equação para tirar o [tex3]sen(x)[/tex3] e substituir os dois na segunda equação....é isso ai.

[snooplammer]

Nem precisava substituir [tex3]\cos x[/tex3], se fizesse

[tex3]\frac{4z}{c}-\frac{4\bar{z}}{c} = 3w + \frac{1}{w^3} - \(\frac{3}w + w^3\) =\(\frac{1}{w}- w\)^3[/tex3], dai saia [tex3]\sen x[/tex3] direto.

Auto Excluído (ID:12031) era o sousóeu, né? Ao menos usar complexos nisso seria bem ele tbm kkkkk