Ensino Médio ⇒ Conjunto solução da equação. Tópico resolvido

[Octavia]

Ajuda aqui pessoal, qual alternativa correta ?

Obrigado.

O conjunto solução da equação: [tex3]A_{x,\,2} + A_{x-1,\,2} = 162[/tex3] é:

A) 16
B) 14
C) 12
D) 10

[csmarceloMOD]

[tex3]A_{x,2}=\frac{x!}{(x-2)!}=\frac{x(x-1)(x-2)!}{(x-2)!}=x(x-1)=x^2-x[/tex3]

[tex3]\small{A_{x-1,2}=\frac{(x-1)!}{((x-1)-2)!}=\frac{(x-1)!}{(x-3)!}=\frac{(x-3)!(x-2)(x-1)}{(x-3)!}=(x-2)(x-1)=x^2-3x+2}[/tex3]

Logo,

[tex3]A_{x,2}+A_{x-1,2}=(x^2-x)+(x^2-3x+2)=2x^2-4x+2[/tex3]

[tex3]2x^2-4x+2=162[/tex3]
[tex3]2x^2-4x-160=0[/tex3]
[tex3]x^2-2x-80=0\Rightarrow\begin{cases}x_1=10\\\cancel{x_2=-8}\end{cases}[/tex3]

OBS: O Latex na parte final não está funcionando, mas basta resolver a equação do segundo grau para encontrar a resposta.

[danjr5]

Olá Octávia, seja bem-vinda!

Lembre-se que: [tex3]\mathsf{A_{n, p} = \frac{n!}{(n - p)!}}[/tex3]. Então,

[tex3]\\ \mathsf{A_{x, 2} + A_{x - 1, 2} = 162} \\\\ \mathsf{\frac{x!}{(x - 2)!} + \frac{(x - 1)!}{[(x - 1) - 2]!} = 162} \\\\\\ \mathsf{\frac{x \cdot (x - 1) \cdot \cancel{(x - 2)!}}{\cancel{(x - 2)!}} + \frac{(x - 1) \cdot (x - 2) \cdot \cancel{(x - 3)!}}{\cancel{(x - 3)!}} = 162} \\\\ \mathsf{x(x - 1) + (x - 1)(x - 2) = 162} \\\\ \mathsf{(x - 1) \cdot [x + (x - 2)] = 162} \\\\ \mathsf{(x - 1)(2x - 2) = 162} \\\\ \mathsf{2 \cdot (x - 1) \cdot (x - 1) = 162} \\\\ \mathsf{(x - 1)^2 = 81} \\\\ \mathsf{|x - 1| = 9}[/tex3]

Mas, do termo [tex3]\mathsf{A_{x - 1, 2}}[/tex3]; tiramos que: [tex3]\mathsf{x - 1 > 0}[/tex3], em que [tex3]\mathsf{x \in \mathbb{N}}[/tex3].

Daí,

[tex3]\\ \mathsf{|x - 1| = 9} \\\\ \mathsf{x - 1 = 9} \\\\ \boxed{\mathsf{x = 10}}[/tex3]