Pré-Vestibular ⇒ (FUVEST)Lei dos Cossenos Tópico resolvido

[DarkKnight]

Um triângulo T tem lados iguais a 4, 5 e 6. Determine o cosseno do maior ângulo de T.

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A resposta não seria :

Resposta

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[tex3]3/4[/tex3]

Pois comprimento e ângulo no cosseno são inversamente proporcionais portanto , 4 possuiria o maior ângulo.

[Rafa2604]

Primeiramente, vamos determinar a Lei dos Cossenos:
[tex3]a^2 = b^2 + c^2 - 2.b.c.\cos(\alpha)[/tex3]
Portanto, teremos:
[tex3]\cos(\alpha) = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2.b.c}[/tex3]
E, por analogia, teremos:
[tex3]\cos(\beta) = \frac{a^2 + c^2 - b^2}{2.a.c} \;\; \text{e} \;\; \cos(\gamma) = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2.a.b}[/tex3]

Como o lado oposto ao ângulo alpha é igual a 6, então A = 6.
Como o lado oposto ao ângulo beta é igual ao lado 4, então B = 4.
Como o lado oposto ao ângulo gamma é igual ao lado 5, então C = 5.

Portanto, temos:

[tex3]\cos(\alpha) = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2.b.c} \; \rightarrow \; \cos(\alpha) = \frac{4^2 + 5^2 - 6^2}{2.4.5} = \frac{16+25-36}{40} = \frac{5}{40} = \frac{1}{8} = 0.125[/tex3]

[tex3]\cos(\beta) = \frac{a^2 + c^2 - b^2}{2.a.c} \; \rightarrow \; \cos(\beta) = \frac{6^2+5^2-4^2}{2.6.5} = \frac{36+25-16}{60} = \frac{45}{60} = \frac{3}{4} = 0.75[/tex3]

[tex3]\cos(\gamma) = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2.a.b} \; \rightarrow \; \cos(\gamma) = \frac{6^2 + 4^2 - 5^2}{2.6.4} = \frac{36+16-25}{40} = \frac{27}{48} = \frac{9}{16} = 0.5625[/tex3]

Portanto, temos que: [tex3]\cos(\alpha) = \frac{1}{8} = 0.125 \;\;\; \cos(\beta) = \frac{3}{4} = 0.75 \;\;\; \cos(\gamma) = \frac{9}{16} = 0.5625[/tex3]

E calculando o [tex3]\cos^{-1}[/tex3], temos os valores para os ângulos:
[tex3]\alpha = \cos^{-1}(0.125) = 83^o \;\; \beta = cos^{-1}(0.75) = 41^o \\\;\; \gamma = cos^{-1}(0.5625) = 56^o[/tex3]