Ensino Médio ⇒ Inequação Irracional Tópico resolvido

[italoemanuell]

Para que valores reais de [tex3]x[/tex3] se cumpre a desigualdade [tex3]\frac{1-\sqrt {1-4x^2}}{x} \lt 3?[/tex3]

[Rafa2604]

[tex3]\frac{1-\sqrt {1-4x^2}}{x} \leq 3 \;\; \rightarrow \;\; 1 - \sqrt{1-4x^2} \leq 3x \;\; \rightarrow \;\; 1 -3x \leq \sqrt{1-4x^2} \;\; \rightarrow \\\\ \;\; \rightarrow \;\; (1-3x)^2 \leq \left( \sqrt{1-4x^2} \right)^2 \;\; \rightarrow \;\; 1 -6x +9x^2 \leq 1-4x^2 \;\; \rightarrow \\\\ \rightarrow \;\; 13x^2-6x \leq 0 \;\; \rightarrow \;\; x(13x-6) \leq 0 \;\; \rightarrow \;\; x \leq 0 \\\\ \rightarrow \;\; 13x-6 \leq 0 \;\; , \;\; x \leq \frac{6}{13}[/tex3]

[undefinied3]

Você não pode realizar essa série de passagens. Multiplicar os dois lados por x e manter o sinal implica x positivo, mas não sabemos se é verdade. Elevar ao quadrado e manter a desigualdade implica também que os dois lados são positivos, mas não se pode afirmar.
O jeito mesmo é passar o 3 pro lado esquerdo, tirar o MMC e cair numa desigualdade que deve ser menor que zero e a partir daí fazer a análise de sinais. Fiz no papel e a resposta é x pertencente a -1/2 até 1/2 excluindo o zero, mais tarde tento passar pro computador caso ninguém tenha feito.

[Rafa2604]

Você não pode realizar essa série de passagens. Multiplicar os dois lados por x e manter o sinal implica x positivo, mas não sabemos se é verdade. Elevar ao quadrado e manter a desigualdade implica também que os dois lados são positivos, mas não se pode afirmar.
O jeito mesmo é passar o 3 pro lado esquerdo, tirar o MMC e cair numa desigualdade que deve ser menor que zero e a partir daí fazer a análise de sinais. Fiz no papel e a resposta é x pertencente a -1/2 até 1/2 excluindo o zero, mais tarde tento passar pro computador caso ninguém tenha feito.

undefinied3, desculpe pelos equívocos.
Quando puder, passe pro computador a resposta, quero ver a resolução do problema. (:
Abraços.

[undefinied3]

Não há do que se desculpar, Rafa

Segue a resolução:

[tex3]\frac{1-\sqrt {1-4x^2}}{x} \leq 3 \rightarrow \frac{1-\sqrt{1-4x^2}-3x}{x} \leq 0[/tex3]
Antes de tudo, devemos verificar as condições de existência pois elas podem já ser a resposta do problema. Não é algo fácil de se perceber nesse exercício pois não é uma expressão tão trivial, então teremos que provar isso na raça mesmo.
[tex3]1-4x^2 \geq 0 \rightarrow -\frac{1}{2} \leq x \leq \frac{1}{2}[/tex3]
[tex3]\frac{1}{x} \rightarrow x \neq 0[/tex3]

Feito isso, analisemos quando a expressão acima é negativa. Isso ocorre quando o numerador é positivo e o denominador é negativo ou vice-versa. Estudando o numerador:
[tex3]1-\sqrt{1-4x^2}-3x=0 \rightarrow (1-3x)^2=1-4x^2 \rightarrow 1-6x+9x^2=1-4x^2[/tex3]
[tex3]13x^2 - 6x=0 \rightarrow x (13x-6)=0[/tex3]
Note que [tex3]x=\frac{6}{13}[/tex3] na verdade não é solução da equação inicial que elevamos ao quadrado. Isso é facilmente verificado
Assim, analisando o quadro de sinais na função inicial (não a elevada ao quadrado), ela assume valores positivos para [tex3]x<0[/tex3] e negativos para [tex3]x>0[/tex3].
O denominador é simples, ele é positivo para x positivo e negativo para x negativo.

Note que então concluimos que o numerador é positivo quando o denominador e negativo, e o numerador é negativo quando o denominador positivo. Assim, aquele quociente é sempre negativo, que é o que queremos, para todo x. Resta então fazer a interseção do conjunto solução (atualmente os reais) com as condições de existência. Realizando as contas, de fato encontramos [tex3]-\frac{1}{2} \leq x \leq \frac{1}{2}, x \neq 0[/tex3]