IME / ITA ⇒ (AFA - 1998) Geometria Espacial Tópico resolvido

[ALDRINMOD]

Seja uma pirâmide de base quadrada com arestas de mesma medida. O [tex3]\text{arc cos}[/tex3] do ângulo entre as faces laterais que se interceptam numa aresta é:

a) [tex3]-\frac{2}{3}[/tex3]
b) [tex3]-\frac{1}{3}[/tex3]
c) [tex3]\frac{1}{3}[/tex3]
d) [tex3]\frac{2}{3}[/tex3]

Resposta

---

b

[petrasMOD]

Fazendo a aresta = L

No [tex3]\Delta[/tex3][tex3]_{ABC}[/tex3]:


AC = [tex3]L\sqrt{2}[/tex3] (Diagonal do Quadrado)
BC=AB = [tex3]\frac{L\sqrt{3}}{2}[/tex3] (Altura do Triângulo Equilátero)

Aplicando a lei dos cossenos: [tex3]AC^{2}[/tex3] = [tex3]AB^{2}[/tex3]+[tex3]BC^{2}[/tex3] - 2.AB.BC.cos[tex3]\theta[/tex3]

[tex3](L\sqrt{2})^{2}[/tex3] = [tex3]\frac{(L\sqrt{3})}{2}^{2}[/tex3] + [tex3]\frac{(L\sqrt{3})}{2}^{2}[/tex3] - 2 . [tex3]\frac{L\sqrt{3}}{2}[/tex3] . [tex3]\frac{L\sqrt{3}}{2}[/tex3] . cos[tex3]\theta[/tex3]

2[tex3]L^{2}[/tex3]= [tex3]\frac{3L^{2}}{2}[/tex3] - [tex3]\frac{3L^{2}}{2}[/tex3].cos[tex3]\theta[/tex3]

[tex3]4L^{2}[/tex3]-[tex3]3L^{2}[/tex3]=-[tex3]3L^{2}[/tex3].cos[tex3]\theta[/tex3]

[tex3]L^{2}[/tex3] = -[tex3]3L^{2}[/tex3].cos[tex3]\theta[/tex3] [tex3]\rightarrow[/tex3] [tex3]\\ \ \\\\ \boxed{\mathsf{ cos\ \theta = -\frac{1}{3} }}[/tex3]


LETRA B