Ensino Superior ⇒ Cálculo II - Multiplicadores de Lagrange

[VictorBelo]

Utilize os multiplicadores de Lagrange para determinar os valores máximos e mínimos da função sujeita à restrição dada.
[tex3]f(x,y,z)=x^{2}+y^{2}+z^{2} ; S=[(x,y,z) \in \mathbb{R}^{3}|g(x,y,z)=1][/tex3] onde [tex3]g(x,y,z)=x^{4}+y^{4}+z^{4}[/tex3]

[miguel747]

Considere que:

[tex3]g(x,y,z) = 1 \Rightarrow g(x,y,z)-1 = 0 \Rightarrow x^4+y^4+z^4-1 = 0\,\,(I)[/tex3]

Pelo Teorema dos Multiplicadores de Lagrange:

[tex3]\nabla f = \lambda \nabla g\Rightarrow \begin{cases}
\nabla f = 2x\hat{i}+2y\hat{j}+2z\hat{k} \\
\lambda\nabla g = \lambda(4x^3\hat{i}+4y^3\hat{j}+4z^3\hat{k})
\end{cases}[/tex3]

Igualando os termos vetoriais:

[tex3]2x = 4\lambda x^3 \\
4\lambda x^3 -2x = 0\\
2\lambda x^3-x = 0\Rightarrow x(2\lambda x^2-1) = 0\\
\boxed{x = 0}\,\,\text{ou}\,\,2\lambda x^2-1 = 0\Rightarrow \boxed{x = \pm \frac{1}{\sqrt{2\lambda}}}\,\,\,(II)[/tex3]

Soluções idênticas para as variáveis [tex3]y[/tex3] e [tex3]z[/tex3].

Substituindo em [tex3](I)[/tex3]:

[tex3]\left(\frac{1}{\sqrt{2\lambda}}\right)^4+\left(\frac{1}{\sqrt{2\lambda}}\right)^4+\left(\frac{1}{\sqrt{2\lambda}}\right)^4 = 1\\
\frac{3}{4\lambda^2} = 1\Rightarrow \boxed{\lambda = \pm \frac{\sqrt{3}}{2}}[/tex3]

Agora substituindo em (II)

Valores máximos
[tex3]\begin{cases}
x=\frac{1}{\sqrt[4]{3}} \\
y=\frac{1}{\sqrt[4]{3}} \\
z=\frac{1}{\sqrt[4]{3}}
\end{cases}[/tex3]


Valores mínimos
E na condição trivial que [tex3]x=0[/tex3], [tex3]y=0[/tex3] implica que [tex3]z = 1[/tex3], bem como [tex3]x=0[/tex3],[tex3]z=0[/tex3], implica que [tex3]y=1[/tex3], e assim por diante.

[VictorBelo]

Olá miguel747, obrigado pela resposta!

[miguel747]

O valor das variáveis é aquela resposta.

O valor máximo da função é substituindo geral

[tex3]f(x,y, z) = \left(1/\sqrt[4]{3}\right)^2 + \left(1/\sqrt[4]{3}\right)^2+\left(1/\sqrt[4]{3}\right)^2 = \sqrt{3}[/tex3]