IME / ITA ⇒ (IME - 1968) Geometria Plana Tópico resolvido

[The8HK]

Um triângulo de perímetro igual a [tex3]15[/tex3] metros, lados em progressão aritmética, tem a bissetriz externa do ângulo [tex3]Â=120°[/tex3] medindo [tex3]\frac{\sqrt{\frac{675}{2}}}{2}[/tex3] metros. Calcule a altura em relação ao lado [tex3]a[/tex3].

Resposta

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[tex3]\frac{15\sqrt{3}}{14}m[/tex3]

[jedi]

sendo os lados uma PA então podem ser representados por

a-r, a , a+r

[tex3]a-r+a+a+r=15[/tex3]

[tex3]3a=15[/tex3]

[tex3]a=5[/tex3]

com o triangulo possui um angulo de 120 º então os outros dois angulos são menores que 60 portanto o lado maior do triangulo é o lado oposto a angulo de 120 portanto pela lei dos cossenos

[tex3](a+r)^2=a^2+(a-r)^2-2.a.(a-r).cos(120^o)[/tex3]

[tex3]a^2+2ar+r^2=a^2+a^2-2ar+r^2-2.a.(a-r).\left(-\frac{1}{2}\right)[/tex3]

[tex3]0=2a^2-5ar[/tex3]

[tex3]r=\frac{2a}{5}[/tex3]

[tex3]r=2[/tex3]

portanto os lados são

[tex3]3 , 5, 7[/tex3]

pela formula da area do triangulo chegamos a altura relativa ao lado a

[tex3]\frac{h_a .7}{2}=\frac{5.3.sen(120^o)}{2}[/tex3]

[tex3]h_a =\frac{15.\sqrt 3}{14}[/tex3]