Ensino Médio ⇒ Matrizes: Matriz Cofatora Tópico resolvido

[guilhermecancian]

Alguem pode me ensinar como achar a matriz dos cofatores?
obrigado

[cajuADMIN]

Olá guilhermecancian,

Em linhas gerais, matriz de cofatores é a matriz onde cada elemento é um cofator.
Os cofatores são construídos da seguinte forma:

• [tex3]c_{ij} = (-1)^{(i + j)} \cdot \det (B),[/tex3]

onde [tex3]B[/tex3] é a matriz resultante da retirada da [tex3]i-[/tex3] ésima linha e [tex3]j-[/tex3] ésima coluna da matriz original.

Vou fazer um exemplo de uma matriz [tex3]3\times 3:[/tex3]

Qual a matriz dos cofatores da matriz [tex3]A=\left[\begin{array}{rrr} 0 & 2 & 1\\ -1 & 4 & 1\\ 1 & 2 & 3\end{array}\right][/tex3]?

1° passo. Achar o determinante: [tex3]\det (A)=2[/tex3]

2° passo. Agora devemos achar o cofator de cada elemento. Se tem [tex3]9[/tex3] elementos, faremos [tex3]9[/tex3] cálculos. Não vou fazer todos os cálculos, apenas alguns e apresentar a matriz final. Vamos chamar a matriz dos cofatores de matriz [tex3]C.[/tex3]

para o elemento [tex3]a_{11}[/tex3] temos [tex3]i=1[/tex3] e [tex3]j=1,[/tex3] a matriz formada pela retirada da 1° linha e 1° coluna é [tex3]\left[\begin{array}{cc}4 & 1\\2 & 3\end{array}\right][/tex3] e o determinante desta matriz é [tex3]10.[/tex3] Usando a fórmula do cofator então temos o primeiro elemento da matriz de cofatores como sendo:

• [tex3]c_{11}=(-1)^{1+1}\cdot 10= 10[/tex3]

para o elemento [tex3]a_{12}[/tex3] temos [tex3]i=1[/tex3] e [tex3]j=2[/tex3] a matriz formada pela retirada da 1° linha e 2° coluna é [tex3]\left[\begin{array}{rr} -1 & 1\\ 1 & 3\end{array}\right][/tex3] e o determinante desta matriz é [tex3]{-}4.[/tex3]

• [tex3]c_{12}=(-1)^{1+2}\cdot (-4)= 4[/tex3]

para o elemento [tex3]a_{23}[/tex3] temos [tex3]i=2[/tex3] e [tex3]j=3,[/tex3] a matriz formada pela retirada da 2° linha e 3° coluna é [tex3]\left[\begin{array}{cc} 0 & 2\\ 1 & 2\end{array}\right][/tex3] e o determinante desta matriz é [tex3]{-}2.[/tex3]

• [tex3]c_{23}=(-1)^{2+3}\cdot (-2)= 2[/tex3]

E a matriz dos cofatores de [tex3]A[/tex3] é:

• [tex3]C=\left[\begin{array}{rrr} 10 & 4 & -6\\ -4 & -1 & 2\\ -2 & -1 & 2\end{array}\right][/tex3]

Pode ser que eu tenha errado algum cálculo, pois fiz tudo diretamente no computador e inventei este exemplo de cabeça.