IME / ITA ⇒ (EsPCEx - 2007) Função do 1º Grau Tópico resolvido

[CadeteGirotto]

Dada a função do 1°grau [tex3]f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}[/tex3], tal que [tex3]f(x)=ax+b[/tex3]; [tex3]a\neq 0[/tex3]; [tex3]a,\,b \in \mathbb{R}[/tex3]. A função [tex3]f[/tex3] é decrescente e seu gráfico corta o eixo das ordenadas no ponto [tex3](0,\,4)[/tex3]. Sabendo-se que a região delimitada pelos eixos coordenados e a representação gráfica de [tex3]f[/tex3] tem area igual a 20 unidades de área, a soma de [tex3]a+b[/tex3] é igual a:

a) [tex3]\frac{-2}{5}[/tex3]
b) [tex3]0[/tex3]
c) [tex3]4[/tex3]
d) [tex3]5[/tex3]
e) [tex3]\frac{18}{5}[/tex3]

[PedroCunha]

Boa noite!

Do enunciado, temos:

[tex3]f(0) = 4 \therefore a \cdot 0 + b = 4 \rightarrow b = 4[/tex3].

Note que a função é decrescente, o que implica em [tex3]a < 0[/tex3]. A região formada pela eixos coordenados e a representação gráfica da função será um triângulo de altura 4 e base dada pela distância entre a origem e a abscissa do ponto [tex3](x_0, 0)[/tex3], ou seja, [tex3]x_0[/tex3]. Como foi dito no enunciado que a área mede 20 u.a. , então:

[tex3]\frac{4 \cdot x_0}{2} = 20 \therefore x_0 = 10[/tex3] e então, substituindo o ponto [tex3](x_0, 0)[/tex3] na função:

[tex3]a \cdot 10 + 4 = 0 \rightarrow a = -\frac{2}{5}[/tex3].

Finalmente, a resposta da questão é [tex3]a + b = 4 - \frac{2}{5} = \frac{18}{5}[/tex3]. Alternativa e .

Grande abraço,
Pedro.

[csmarceloMOD]

Olá, Girotto.

A primeira parte do enunciado nos diz que trata-se de uma função afim.

Com base nisso e no fato da função ser decrescente e cortar o eixo das ordenadas no ponto [tex3](0,4)[/tex3], temos que o seu gráfico é o seguinte:

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A região destacada corresponde à região delimitada pelos eixos coordenados e a representação de [tex3]f[/tex3], que equivale à área de um triângulo retângulo.

[tex3]S_\Delta=\frac{4\cdot x_B}{2}=20\Rightarrow x_B=10[/tex3]

Temos agora o ponto [tex3]B=(10,0)[/tex3] e com dois pontos de uma reta podemos determinar sua equação.

[tex3]b=4[/tex3]
[tex3]a=-\frac{2}{5}[/tex3]

Logo,

[tex3]a+b=4-\frac{2}{5}=\frac{18}{5}[/tex3]