Ensino Médio ⇒ Bases de Numeração

[Vscarv]

Represente:

a) [tex3]x^{n}[/tex3] na base x;

Resposta

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Gabarito: a) 1000..00, com n zeros

[csmarceloMOD]

Como passamos anos estudando apenas o sistema decimal, entendemos que o 10 significa 10 unidades (dez dedos, por exemplo) e pronto, mas, num contexto mais amplo, o 10 significa que possuímos 1 "dezena" de algo.

Dezena entre aspas, porque essa dezena depende da base do nosso sistema de numeração.

Se estamos no sistema decimal, uma dezena significa, obviamente, 10 unidades na base decimal.
Se estamos no sistema sexagesimal, uma "dezena" significa 60 unidades na base decimal.
Se estamos no sistema binário, uma "dezena" significa 2 unidades na base decimal.
Se estamos no sistema octal, uma "dezena" significa 8 unidades na base decimal.

É fácil entender isso no sistema sexagesimal. Pense em um relógio. Contamos os segundos até 59 e depois, quando contamos mais um, o que ocorre? Transformamos 60 segundos em 1 minuto e 0 segundos, ou seja, o número 10 na base sexagesimal.

[tex3]60_{10}=10_{60}[/tex3]

Da mesma forma, contamos os minutos até 59 e depois, quando contamos mais um, transformamos 60 minutos em 1 hora, 0 minutos e 0 segundos, ou seja, o número 100 na base sexagesimal.

[tex3]{60^2}_{10}={10^2}_{60}[/tex3]

Já base 2, por possuir apenas 2 algarismos, nos permite ver o padrão com mais facilidade, pois é tranquilo realizar a conversão dos números manualmente.

[tex3]2_{10}=10_{2}[/tex3]
[tex3]4_{10}=100_{2}[/tex3]
[tex3]8_{10}=1000_{2}[/tex3]
[tex3]16_{10}=10000_{2}[/tex3]

Correto? Agora, vamos colocar tudo em forma de potência:

[tex3]{2^1}_{10}={10^1}_{2}[/tex3]
[tex3]{2^2}_{10}={10^2}_{2}[/tex3]
[tex3]{2^3}_{10}={10^3}_{2}[/tex3]
[tex3]{2^4}_{10}={10^4}_{2}[/tex3]

Generalizando,

[tex3]{x^n}_{10}={10^n}_{x}[/tex3]