Ensino Superior ⇒ Superfície esférica

[Willm17]

Uma superfície esférica de raio [tex3]R[/tex3] é cortada por uma metade do cone circular reto cujo vértice coincide com o centro da esfera, e cujo ângulo de abertura é [tex3]α ∈ (0, π).[/tex3] Calcular, em termos de [tex3]R~e~\alpha[/tex3], o centro de massa da porção da esfera que está no interior do cone.

[jedi]

penso que seja assim a figura

cent_mass_cone.png (5.32 KiB) Exibido 989 vezes

por simetria o ponto do centro de massa tem coordenadas x=y=0,então temos que encontrar o valor no eixo z, que pode ser obtido pela expressão

[tex3]=\frac{\int zdv}{\int dv}[/tex3]

onde dv se refere a uma porção de volume

utilizando coordenadas cilíndricas

[tex3]\int zdv=\int_{o}^{2\pi}\int_{0}^{R\sen(\alpha/2)}\int_{\frac{r}{\tan(\alpha/2)}}^{\sqrt{(R^2-r^2)}}z.r.dz.dr.d\theta[/tex3]

[tex3]=\int_{o}^{2\pi}\int_{0}^{R\sen(\alpha/2)}\frac{R^2-r^2-\frac{r^2}{\tan^2(\alpha/2)}}{2}.r.dr.d\theta[/tex3]

[tex3]=\int_{o}^{2\pi}\frac{R^4}{4}\sen(\alpha/2)-\frac{R^4}{8}\sen^4(\alpha/2)-\frac{R^4\sen^4(\alpha/2)}{8\tan^2(\alpha/2)}d\theta[/tex3]

[tex3]=\int_{o}^{2\pi}\frac{R^4}{8}\left(2\sen(\alpha/2)-\sen^4(\alpha/2)-\sen^2(\alpha/2)\cos^2(\alpha/2)\right)d\theta[/tex3]

[tex3]=\int_{o}^{2\pi}\frac{R^4}{8}\left(2\sen(\alpha/2)-\sen^2(\alpha/2)\left(\sen^2(\alpha/2)+\cos^2(\alpha/2)\right)\right)d\theta[/tex3]

[tex3]=\int_{o}^{2\pi}\frac{R^4}{8}\left(2\sen(\alpha/2)-\sen^2(\alpha/2)\right)d\theta[/tex3]

[tex3]=\frac{\pi.R^4}{4}\left(2\sen(\alpha/2)-\sen^2(\alpha/2)\right)[/tex3]

a integral de volume é mais fácil calcular por coordenadas esferica

[tex3]\int dv=\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{R}\int_{\pi/2-\alpha/2}^{\pi/2}r^2.cos(\phi).d\phi.dr.d\theta[/tex3]

[tex3]\int dv=\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{R}r^2.\left(1-\sen(\pi/2-\alpha/2)\right)dr.d\theta[/tex3]

[tex3]\int dv=\int_{0}^{2\pi}\frac{R^3}{3}.\left(1-\sen(\pi/2-\alpha/2)\right)d\theta[/tex3]

[tex3]\int dv=2\pi.\frac{R^3}{3}.\left(1-\sen(\pi/2-\alpha/2)\right)[/tex3]

[tex3]\int dv=2\pi.\frac{R^3}{3}.\left(1-cos(\alpha/2)\right)[/tex3]

portanto

[tex3]\frac{\int zdv}{\int dv}=\frac{\frac{\pi.R^4}{4}\left(2\sen(\alpha/2)-\sen^2(\alpha/2)\right)}{2\pi.\frac{R^3}{3}.\left(1-cos(\alpha/2)\right)}[/tex3]

[tex3]\frac{\int zdv}{\int dv}=\frac{3R\left(2\sen(\alpha/2)-\sen^2(\alpha/2)\right)}{8\left(1-cos(\alpha/2)\right)}[/tex3]