IME/ITA ⇒ (IME-CG - 2009) Corpo Inclinado

[Willm17]

Um corpo ferromagnético de massa [tex3]m[/tex3] é mantido parado sobre um plano inclinado sem atrito com ângulo [tex3]\theta[/tex3] com o plano horizontal. Ao final do plano inclinado existe um eletroímã conectado a uma fonte elétrica, que impõe uma força [tex3]\vec{F}[/tex3] igual a [tex3]\frac{\alpha \vec{B}}{x^{2}}[/tex3] no sentido do plano inclinado. Esta força sobre o corpo é mantida constante, mediante controle da corrente elétrica da fonte. O corpo é liberado da sua posição inicial e, após a haste, que é solidária ao corpo, passar pelo ponto [tex3]A[/tex3], a chave [tex3]Ch[/tex3] do circuito, que se encontrava aberta, é fechada. Determine a expressão da corrente elétrica [tex3]i(x)[/tex3] a fim de permitir que a velocidade do corpo no momento em que ele atinge o ponto [tex3]B[/tex3] seja [tex3]5[/tex3] vezes a sua velocidade no ponto [tex3]A[/tex3]

Observações:
• vetor indução magnética: [tex3]\vec{B}[/tex3]
• parâmetro associado à característica do corpo e demais características do meio: [tex3]\alpha[/tex3]

Dados:

• número de espiras do eletroímã: [tex3]n=10[/tex3]
• altura do plano inclinado: [tex3]h=~0,09m[/tex3]
• comprimento da bobina: [tex3]l = 0,1~m[/tex3]
• Aceleração da gravidade: [tex3]g=10m/s^{2}[/tex3]
• comprimento do plano inclinado: [tex3]L =~1,0 m[/tex3]
• constante: [tex3]α = \frac{10^{3}}{\pi } kg.m^{3}/Ts^{2}[/tex3]
• massa do corpo: [tex3]m = 0,1~kg[/tex3]
• distância entre os pontos: [tex3]d = 0,1~m[/tex3]
• permeabilidade magnética do meio: [tex3]\mu =4\pi .10^{-7}Tm/A[/tex3]

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[LPavaNNN]

Ainda não estudei integral direito mas tenho uma ideia conceitual sobre, acho que é isto :

[tex3]\text{solenóide: }B=\frac{uni}{L}\\\text{velocidade no ponto A:}\\a=gsin\theta\\V_A^2=2.gsin\theta.0,1\\\text{velocidade no ponto B:}\\V_B=5V_A\\V_B^2=25V_A^2\\\Delta E_{k}=\frac{m(V_B^2-V_A^2)}{2}=12mV_A^2\\\Delta E_p=mg\Delta h=-mg.0,1.sin\theta\\W=\int_{0,9}^{0,8}\frac{\alpha B}{x^2}.dx=\alpha B.(\frac{-1}{x})]_{x=0,9}^{0,8}=\frac{-\alpha B}{0,9}+\frac{\alpha B}{0,8}\\W=\frac{0,1\alpha B}{0,72}=\frac{5\alpha B}{36}=\frac{5\alpha uni}{36L}\\W=\Delta E_k+\Delta E_p\\\frac{5\alpha uni}{36L}=12mV_A^2-0,1mg.sin\theta\\\frac{5\alpha uni}{36L}=12m.0,2gsin\theta-0,1mgsin\theta\\\frac{5\alpha uni}{36L}=mgsin\theta.2,3\\i=\frac{2,3mgsin\theta.36L}{5\alpha uni}[/tex3]