Pré-Vestibular ⇒ (UFPE) Polinômio

[Jhonatan]

Sabendo que [tex3]\frac{x^2-2x+4}{x^3 + x^2 - 2x} = \frac{A}{x} + \frac{B}{x+2} + \frac{C}{x-1}[/tex3], calcule A + B + 2C.

Resposta

---

R: 2

Pessoal, poderiam me ajudar nessa questão ? Obrigado.

[Rafa2604]

Primeiramente, utilize o tex e parenteses, tá muito confuso descobrir o que está dividindo o quê, eu tive que pesquisar.

[tex3]\frac{x^2-2x+4}{x^3 + x^2 - 2x} = \frac{A}{x} + \frac{B}{x+2} + \frac{C}{x-1}[/tex3]

Deixando a segunda parte da igualdade com o mesmo denominador:

[tex3]\frac{x^2-2x+4}{x^3 + x^2 - 2x} = \frac{A(x+2)(x-1) + Bx(x-1) + Cx(x+2)}{x(x+2)(x-1)}[/tex3]
[tex3]\frac{x^2-2x+4}{x^3 + x^2 - 2x} = \frac{A(x^2-x+2x-2) + B(x^2-x) + C(x^2+2x)}{x(x^2-x+2x-2)}[/tex3]
[tex3]\frac{x^2-2x+4}{x^3 + x^2 - 2x} = \frac{A(x^2+x-2) + B(x^2-x) + C(x^2+2x)}{(x^3+x^2-2x)}[/tex3]

Como os denominadores da igualdade são iguais, podemos eliminá-los e considerar agora apenas o numerador:

[tex3]x^2-2x+4 = A(x^2+x-2) + B(x^2-x) + C(x^2+2x)[/tex3]
[tex3]x^2-2x+4 = Ax^2+Ax-2A + Bx^2-Bx + Cx^2+2Cx[/tex3]

Juntando os coeficientes, temos:
[tex3]x^2-2x+4 = (A+B+C)x^2+(A-B+2C)x-2A[/tex3]

Como, temos uma igualdade, então os coeficientes são os mesmos, logo temos:
[tex3]A+B+C = 1[/tex3]
[tex3]A - B + 2C = -2[/tex3]
[tex3]-2A = 4 \;\; \rightarrow \;\; A = -2[/tex3]

Substituindo A nas outras equações, temos
[tex3]-2 + B + C = 1 \;\; \rightarrow \;\; B+C = 3[/tex3]
[tex3]-2 - B + 2C = -2 \;\; \rightarrow \;\; 2C = B[/tex3]

Substituindo B na primeira equação que encontramos, temos:
[tex3]2C + C = 3 \;\; \rightarrow \;\; 3C = 3 \;\; \rightarrow \;\; C = 1[/tex3]

Substituindo C em B, temos:
[tex3]B = 2.1 \;\; \rightarrow \;\; B = 2[/tex3]


Portanto, temos que:
[tex3]A = -2 \;\;, \;\; B = 2 \;\; , \;\; C = 1[/tex3]


Queremos encontrar [tex3]A + B + 2C[/tex3], portanto temos:
[tex3]A + B + 2C = -2 + 2 + 2.1 = 0 + 2 = 2[/tex3]

[Jhonatan]

Excelente!!!!!!
Muito obrigado, Rafa.

[Rafa2604]

Excelente!!!!!!
Muito obrigado, Rafa.

Por nada, mas não esqueça de editar o post para ajeitar a questão, realmente ficou confuso entender a expressão.
Bons estudos!

[Jhonatan]

Rafa, então, eu sou novo aqui no grupo, daí não sei fazer muito bem essas edições. Desculpe se não ficou claro, mas é porque eu realmente não sei mexer....

[Rafa2604]

Rafa, então, eu sou novo aqui no grupo, daí não sei fazer muito bem essas edições. Desculpe se não ficou claro, mas é porque eu realmente não sei mexer....

Sem problemas, daqui a pouco um moderador deve vir ajeitar. (:

[Jhonatan]

Rafa, última pergunta: o que fez para ter achado -2A = 4 naquele sistema ?

[Rafa2604]

Rafa, última pergunta: o que fez para ter achado -2A = 4 naquele sistema ?

Se lembra que eu disse que na igualdade, os coeficientes de cada lado devem ser iguais?
Tínhamos uma igualdade em que:
[tex3]x^2-2x+4 = (A+B+C)x^2+(A-B+2C)x-2A[/tex3]

Portanto, os coeficientes de x² devem ser iguais de ambos os lados, os coeficientes de x devem ser iguais de ambos os labos e os termos independentes devem ser iguais em ambos os lados.
Ou seja, temos que naquela igualdade:

Coeficiente de x² no lado esquerdo da igualdade: 1
Coeficiente de x² no lado direito da igualdade: (A+B+C)
Portanto, A+B+C = 1

Coeficiente de x no lado esquerdo da igualdade: -2
Coeficiente de x no lado direito da igualdade: (A-B+2C)
Portanto, A-B+2C = -2

Termo independente no lado esquerdo da igualdade: 4
Termo independente no lado direito da igualdade: -2A
Portanto, -2A = 4. Logo A = -4/2 = -2.

[Jhonatan]

Novamente enxerguei minha falta de atenção. Muito obrigado novamente, Rafa, pelas excelentes explicações e por toda sua paciência.