Ensino Médio ⇒ Combinatória com Repetição

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Pessoal,

É um problema clássico de escolha de sorvetes, porém com um pequeno detalhe.

Eu vou a uma sorveteria escolher um sorvete de 3 bolas. São 5 sabores disponíveis. O problema é que eu só posso repetir (quantas vezes eu quiser) apenas um dos sabores! De quantas formas eu posso escolher meu sorvete?

Agradeço a ajuda.

[jedi]

o total de combinações em que os tres sabores são diferentes será

[tex3]C_{3}^{5}=\frac{5!}{3!2!}=10[/tex3]

as combinações em que temos o sabor repetido são quatro, duas bolas do sabor repetido e uma bola de um dos outros quatro sabores

e temos ainda a combinações em que as três bolas são do mesmo sabor

sendo assim o total será

[tex3]10+4+1=15[/tex3]

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Tudo bem, mas você só conseguiu resolver porque foram poucas bolas e poucos sabores. E se os números fossem maiores, como por exemplo 8 bolas e 12 sabores?

[jedi]

ai você dependeria de quantos sabores você pode repetir e de quantas formas, dependendo do caso problema pode ser bem complexo e precisar de vários cálculos.

por exemplo se fosse 12 para escolher 8 podendo repetir uma quantas vezes eu quisesse eu teria que fazer

não repetindo nenhuma

[tex3]C_{8}^{12}[/tex3]

repetindo 1 vez

[tex3]C_{6}^{11}[/tex3]

repetindo 2 vezes

[tex3]C_{5}^{11}[/tex3]

repetindo 3 vezes

[tex3]C_{4}^{11}[/tex3]

e assim por diante até repetindo todas que seria igual a 1

o número total de combinações seria a soma de todas essas

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Entendi. Então não existe atalho pra isso. Tem que fazer de forma braçal mesmo.

[csmarceloMOD]

Houve apenas um equívoco na resolução. A resposta é 35.

[tex3]C^5_3=10[/tex3], três bolas de sabores diferentes.
[tex3]2\cdot C^5_2=20[/tex3], três bolas, sendo duas do mesmo sabor.
[tex3]C^5_1=5[/tex3], três bolas do mesmo sabor.

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Marcelo, acho que sua resolução está errada, não?

Você tá considerando que qualquer sabor pode se repetir. Eu disse que apenas um deles pode se repetir. Se os sabores forem A, B, C, D ou E, somente o A poderia se repetir, por exemplo. Ou somente o B, somente o C...

Acho que você entendeu que eu só posso repetir um, independentemente de qual seja. Mas isso não precisaria ser informado já que só são 3 sabores e só há a possibilidade de um sabor se repetir.

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Se eu mudasse o problema pra 6 sabores (A, B, C, D, E, F) e um sorvete de 4 bolas, de quantas formas eu poderia escolher meu sorvete se só os sabores B e E pudessem se repetir?

[csmarceloMOD]

Entendi. Mas, pelo que você falou, essa interpretação é possível, não?

O problema é que eu só posso repetir (quantas vezes eu quiser) apenas um dos sabores!

De quais sabores estamos falando? Dos disponíveis (5) ou dos que você escolheu (3)?

Se eu mudasse o problema pra 6 sabores (A, B, C, D, E, F) e um sorvete de 4 bolas,...

Seguindo a sua interpretação:

Nenhuma bola repetida
[tex3]C^6_4=15[/tex3]

Duas bolas do mesmo sabor
[tex3]2\cdot C^5_2=10[/tex3]

Três bolas do mesmo sabor
[tex3]2\cdot C^5_1=5[/tex3]

Quatro bolas do mesmo sabor
[tex3]2\cdot C^5_0=1[/tex3]

Creio que seja isso...

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Marcelo, não estou conseguindo seguir seu raciocínio. Pode explicar o que está por trás das fórmulas?

Só entendi a primeira, que seria sem repetições.

E o resto?

Eu vou escolher apenas 4 bolas pro meu sorvete e são 6 sabores disponíveis. Eu posso repetir ou não. Se eu quiser repetir, as únicas que o sorveteiro me permite são os sabores B e E. Foi isso mesmo que você calculou? Se sim, por favor me ajuda a entender.