Ensino Superior ⇒ Integrais - Região Limitada Tópico resolvido

[ANNA2013MARY]

Seja R a região limitada pelas curvas [tex3]x=0[/tex3], [tex3]x=\sqrt{5-y}[/tex3] e [tex3]y=K[/tex3], [tex3]K < 5[/tex3].
Qual valor deve-se atribuir à constante [tex3]K[/tex3], para que se tenha [tex3]\int\limits[/tex3] [tex3]\int\limits_R xdydx=1[/tex3] ?

[Rafa2604]

Seja R a região limitada pelas curvas [tex3]x=0[/tex3], [tex3]x=\sqrt{5-y}\;[/tex3] e [tex3]\;y=K[/tex3], [tex3]K < 5[/tex3].
Qual valor deve-se atribuir à constante K, para que se tenha [tex3]\int\limits \int\limits_R x\;dxdy=1[/tex3] ?
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Temos então que [tex3]0 \leq x \leq \sqrt{5-y}[/tex3], e portanto, temos que [tex3]0 \leq y \leq K[/tex3], onde [tex3]K < 5[/tex3].

[tex3]\int\limits_0^K \int\limits_0^{\sqrt{5-y}} x\;dxdy=1 \;\; \rightarrow \;\; \int\limits_0^K \left[\frac{x^2}{2} \right]_0^{\sqrt{5-y}} dy=1 \;\; \rightarrow \;\; \int\limits_0^K \left[\frac{(\sqrt{5-y})^2 - 0^2}{2} \right] dy=1 \;\; \rightarrow \;\; \int\limits_0^K \frac{5-y}{2} \; dy = 1[/tex3]

[tex3]\frac{1}{2} \cdot \int\limits_0^K (5-y) \; dy = 1 \;\; \rightarrow \;\; \int\limits_0^K(5-y) \; dy = 2 \;\; \rightarrow \left[ 5y - \frac{y^2}{2}\right]_0^K = 2 \;\; \rightarrow \;\; 5K - \frac{K^2}{2} = 2 \;\; \rightarrow \;\; 10K-K^2 = 4[/tex3]

[tex3]K^2 - 10K+4 = 0 \;\; \rightarrow \;\; K = \frac{-(-10) \pm \sqrt{(-10)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1} = \frac{10 \pm \sqrt{100-16}}{2} = \frac{10 \pm \sqrt{84}}{2}[/tex3]

[tex3]K = \frac{10 \pm 2\sqrt{21}}{2} \;\; \rightarrow \;\; K = 5 \pm \sqrt{21}[/tex3]

Como temos a condição que [tex3]K<5[/tex3], então temos que:
[tex3]K = 5 - \sqrt{21} = 0.417[/tex3]