IME / ITA ⇒ (EN - 1990) Geometria Espacial: Cilindros e Insetos Tópico resolvido

[ALDRINMOD]

Pessoal estou postando essa questão, pois estou em dúvida entre duas alternativas, uma é a letra a) e a outra a letra d) foi a que encontrei

Um copo cilíndrico tem 6 cm de altura e tem uma circunferência da base medindo 16 cm. Um inseto está do lado de fora do copo, a 1 cm do topo, enquanto, do lado de dentro, a 5 cm do topo, está uma gota de mel. A gota e o inseto encontram-se em geratrizes do cilindro que são simétricas em relação ao eixo do cilindro. A menor distância que o inseto deve andar para a para atingir a gota de mel é:

a) 10 cm. b) 14 cm. c) ([tex3]\sqrt{65}+5[/tex3]). d) ([tex3]\sqrt{89}+ 1[/tex3]) cm. e) [tex3]4\sqrt{5}[/tex3] cm.

[mvgcsdf]

Fala, Aldrin. Beleza?
Pra resolver esta questão, vc tem que fazer a PLANIFICAÇÃO do cilindro.
Assim, termos 1 triângulo equilátero com os catetos medindo 6cm e 8cm.
6 cm: o inseto anda 1 cm pra entrar no copo e a gota de mel está a 5 cm do topo. Colocando tudo em um só plano, o cateto vertical mede 6 cm.
8 cm: a gota de mel numa geratriz do cilindro que é simétrica à geratriz que está o inseto. Como a circunferência de base mede 16 cm, o cateto horizontal mede 8 cm (metade de 16 cm, pois estão em planos opostos, isto é, na metade).
Então, a menor distância que o inseto deve andar pra chegar à gota de mel será: (d)^2 = 6² + 8²
(d)^2 = 100
(d) = 10 cm
Qualquer dúvida, é só falar.

[ALDRINMOD]

Valeu mvgcsdf era essa resolução que eu estava querendo mesmo, agora a vou mostrar a minha resolução e gostaria que o pessoal, por favor, dessem uma avaliada em o que eu possa estar errando, e se alguém pudesse ajudar com figuras eu agradeço:

Antes de planificar o cilindro, suponhamos que o inseto suba 1 cm em linha reta na vertical (que é o caminho mais curto para ele chegar ao topo), agora Planificando o cilindro teremos um retângulo de lados 16 cm de comprimento e 6 cm de altura. Tendo o inseto subido 1 cm, até o topo, considerando o inseto no centro superior do retângulo teremos a distância do inseto até o mel igual a hipotenusa de um triângulo retângulo de medidas: 8 cm, um dos catetos, 5 cm o outro cateto, pois o mel está a 5 cm do topo e finalmente a hipotenusa valendo [tex3]\sqrt{89},[/tex3] assim somando a hipotenusa mais um centímetro nos dá como resposta a alternativa d.

[mvgcsdf]

Eu entendi o seu raciocínio.
Mas vc tem que pensar no exercício como um triângulo, não como partes separadas, como vc perguntou.
Assim, nestas condições, a vertical mede 5 + 1 = 6 cm, não só o 5 isoladamente.
Por exemplo, se estivesse na mesma geratriz que o inseto está, ele deveria andar 6 cm.
Não sei se clareou.
Sua dúvida é muito pertinente.
Se vc tem ainda dúvida, pode perguntar.
Sempre a seu dispor!!

[cajuADMIN]

Olá a todos,

Aldrin, sua resolução está medindo um "possível" caminho que a mosca pode fazer para ir até o mel. Mas, o enunciado não quer um caminho qualquer, quer um caminho que tenha a menor distância.

A resolução do mvgcsdf é exatamente o que estava sendo pedido. Seria um pouco mais didático uma figura. Veja a situação abaixo antes de planificar:

antes da planificação

mosca_mel.GIF (2.03 KiB) Exibido 6156 vezes

Agora vamos planificar e ver como é o caminho mínimo que a mosca deve fazer e comparar com o caminho que o Aldrin fez.

após planificação

mosca_mel2.GIF (3.51 KiB) Exibido 6152 vezes

Veja que o caminho vermelho é maior do que o caminho azul.

[ALDRINMOD]

Professor obrigado pela resolução, mas na minha resolução consta o 1cm que o inseto venceu até chegar o topo do cilindro e na outra resolução eu ainda não consegui visualisar, daria para me dar uma luz.

[Thales Gheós]

Alô pessoal, Mestre Cajú:

entendi que o inseto não pode modificar o copo e deve seguir um caminho real sobre a sua superfície. Na minha opinião, o Aldrim acertou...

trek.GIF (2.49 KiB) Exibido 6151 vezes

trek2.GIF (2.17 KiB) Exibido 6149 vezes

[cajuADMIN]

Olá Thales,

Com certeza, a mosca nem tem poderes para tal modificação e o caminho deve ser real mesmo.

O que deve estar ficando confuso é o fato de que a mosca, do lado de fora do copo, não precisa fazer o menor caminho até o topo para que o caminho completo até o mel seja o menor. Vou corrigir seu desenho quanto à resolução do mvgcsdf e meu desenho:

mvgcsdf.GIF (2.21 KiB) Exibido 6112 vezes

Veja que o caminho que não está pontilhado a mosca irá percorrer por fora do copo, e o que está pontilhado será por dentro do copo.

Numa tentativa um pouco frustrada de utilizar os revolucionários recursos tridimensionais do mega software Paint for Windows, desenhei o rabisco abaixo:

3D

mosca_mel.GIF (2.18 KiB) Exibido 6113 vezes

Qualquer dúvida, fiquem à vontade.

[mvgcsdf]

Alô, Aldrin.
A figura feita pelo Caju realmente esclarece a questão.
Procurando esclarecer ainda mais a resolução, digo o seguinte:
para acharmos a menor distância, temos que pensar em UM SÓ triângulo, isto é, fazer UMA SÓ OPERAÇÃO - lembre-se de que o enunciado pede A MENOR DISTÂNCIA.
Pense no cateto ocupado pelo inseto.
O cateto ocupado pelo inseto É UM SÓ. A medida do cateto ocupado por ele É UMA SÓ, NÃO DUAS.
Quanto ele deve andar para chegar ao topo? 1 cm.
O enunciado fala que a gota e o inseto estão em geratrizes SIMÉTRICAS.
A gota está a 5 cm do topo.
Transpondo para o plano ocupado pelo inseto, teremos 1 + 5 = 6 cm - esta a medida do cateto em que o inseto está.
Esqueça de somar o 1 cm com [tex3]\sqrt{89}[/tex3] cm, pois vc não pode considerar como duas operações diferentes, mas uma só. Não se esqueça: considere UMA SÓ OPERAÇÃO, não duas.
Assino embaixo a ilustração muito bem feita do Caju.
Qualquer coisa, a seu dispor.
Valeu, gente!!

[ALDRINMOD]

mvgcsdf , para que eu fique mais convencido com sua resolução, alguém pode me dizer quantos centímetros o inseto subiu até o topo? E desculpem a insistência.