Ensino Superior ⇒ Provar limite por definição. Tópico resolvido

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Boa tarde. Gostaria de ajuda com uma questão de uma prova de Cálculo I. Não me dei muito bem com a formatação do TeX, então peço desculpas. Segue a questão e parte da minha tentativa de resolução:

Enunciado: "Prove que lim x->-2 (x²-3x+4)=14."

Resolução: Considere f(x)=x²-3x+4. Tome x pertencente a Dm(f), delta>0, tal que Dist(x,-2)<delta, e épilson>0, tal que Dist(f(x),14)<épilson. Considere que delta=épilson/k e que Dist(f(x),14)=k*Dist(x,-2).

Assim, |f(x)-14|=k*|x+2| -> |x²-3x-10|=k*|x+2|. Podemos fatorar f(x), de forma que |(x+2)(x-5)|=k*|x+2|. Logo, k=|x-5|.

Tome um delta teste (deltat), tal que deltat=2, de forma que Dist(x,2)<2. Assim, |x-2|<2 -> -2<x-2<2 -> -5<x-5<-1.

Considerando que -5<x-5<-1 implica em |x-5|<=max{|-5|,|-1|}, então |x-5|<=5. Se |x-5|=5, então k=5.

Considere que delta=min{épilson/5,deltat=2} e que dist(x,2)<delta."

E eu não consigo mais avançar para além disso. O que eu devo fazer em seguida?

[Cardoso1979]

Observe

Uma prova:

Devemos provar que para qualquer real positivo [tex3]\varepsilon [/tex3] existe algum real positivo [tex3]\delta [/tex3] tal que:

[tex3]0 < |x+2| < \delta ⇒ | ( x^2-3x+4)-14| < \varepsilon [/tex3]

Análise para a escolha do [tex3]\delta [/tex3]:

O número [tex3]\delta [/tex3] depende de [tex3]\varepsilon [/tex3] . Por isso, para determinar um possível valor de [tex3]\delta [/tex3] , analisemos a desigualdade que envolve [tex3]\varepsilon [/tex3] , ou seja , [tex3]|(x^2-3x+4)-14| < \varepsilon [/tex3].

Note que:

[tex3]|(x^2-3x+4)-14| < \varepsilon ⇔ | x^2-3x-10| < \varepsilon [/tex3]

[tex3]\therefore |(x^2-3x+4)-14| < \varepsilon ⇔ |(x+2)(x-5)| < \varepsilon [/tex3]

[tex3]\therefore |(x^2-3x+4)-14| < \varepsilon ⇔ |x+2||x-5| < \varepsilon [/tex3].

O que nos interessa é a tendência dos valores f( x ) para x tendendo a - 2. Sem perda de generalidade, podemos analisar a tendência dos valores de x em uma vizinhança reduzida simétrica com raio 1 do número - 2:

Screenshot_20200206-220238.png (353.8 KiB) Exibido 1355 vezes

Fixada essa vizinhança, temos:

[tex3]|x+2| < 1 ⇔ - 1 < x + 2 < 1 \therefore |x+2| < 1 ⇔ - 3 < x < - 1 [/tex3]

[tex3]\therefore |x+2| < 1 ⇔ - 8 < x - 5 < -6 [/tex3]

Usando as propriedades de módulo para intervalos negativos, temos :

| - 6 | < | x - 5 | < | - 8 | ⇒ 6 < | x - 5 | < 8

Então,

[tex3]\therefore |x+2| < 1 ⇔ |x - 5| < 8 [/tex3]

Assim, se ε ≥ 8 , escolhemos δ = 1 e , se ε < 8, escolhemos [tex3]\delta =\frac{\varepsilon }{8}[/tex3] , para que possamos concluir a prova.

Conclusão da prova:

• Se ε ≥ 8 , tomamos δ = 1 e temos:

[tex3]0<|x+2|<1⇒\begin{cases}
|x+2|<1 \\
\\
|x-5|<8
\end{cases}[/tex3]

[tex3]\therefore 0<|x+2|<1⇒|x+2|.|x-5|<8.1[/tex3]

[tex3]\therefore 0<|x+2|<1⇒|(x+2)(x-5)|<8[/tex3]

[tex3]\therefore 0<|x+2|<1⇒|(x^2-3x+4)-14|<8≤\varepsilon [/tex3] .


• Se ε < 8 , tomamos [tex3]\delta =\frac{\varepsilon }{8}[/tex3] ( note que δ < 1 ) e temos:

[tex3]0<|x+2|<\frac{\varepsilon }{8}⇒\begin{cases}
|x+2|<\frac{\varepsilon }{8} \\
\\
|x-5|<8
\end{cases}[/tex3]

[tex3]\therefore 0<|x+2|<\frac{\varepsilon }{8}⇒|x+2|.|x-5|<\left(\frac{\varepsilon }{8}\right).8[/tex3]

[tex3]\therefore 0<|x+2|<\frac{\varepsilon }{8}⇒|(x+2)(x-5)|<\varepsilon [/tex3]

[tex3]\therefore 0<|x+2|<\frac{\varepsilon }{8}⇒|(x^2-3x+4)-14|<\varepsilon [/tex3].

Portanto, [tex3]\lim_{x \rightarrow \ -2}(x^2-3x+4)=14.[/tex3] C.q.p.


Bons estudos!