Pré-Vestibular ⇒ (Colégio Objetivo) Fatoração Tópico resolvido

[dressajardim]

Gostaria de ajuda com essa questão
Calcular o valor de: [tex3]{x^5+}\frac{1}{x^5}[/tex3] sabendo que [tex3]{x^2 + }\frac{1}{x^2}=7[/tex3] e que x>0

[Ittalo25MOD]

[tex3]{x^2 + }\frac{1}{x^2}=7[/tex3]
[tex3]\left({x^2 + }\frac{1}{x^2}\right)^2=7^2[/tex3]
[tex3]{x^4 + }\frac{1}{x^4}+2=49[/tex3]
[tex3]{x^4 + }\frac{1}{x^4}=47[/tex3]

_______________________________

[tex3]{x^2 + }\frac{1}{x^2}=7[/tex3]
[tex3]\left({x + }\frac{1}{x}\right)^2-2=7[/tex3]
[tex3]\left({x + }\frac{1}{x}\right)^2=9[/tex3]
[tex3]{x + }\frac{1}{x}=3[/tex3]

______________________________

[tex3]\left({x^4 + }\frac{1}{x^4}\right) \cdot \left({x + }\frac{1}{x}\right)=47 \cdot 3[/tex3]
[tex3]x^5 +\frac{1}{x^5} + x^3 + \frac{1}{x^3} =141[/tex3]


A ideia é essa, fica como exercício você achar o valor de [tex3]x^3 + \frac{1}{x^3}[/tex3]

[dressajardim]

Brigada amigo, mas continuo sem entender. Só entendi a primeira parte que vc elevou os dois ao quadrado, dai pra baixo nada.

[petrasMOD]

[tex3]Produto\ Not\acute{a}vel\: \left(x+\frac{1}{x}\right)^2=x^2+2.x.\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2}={\color{Red} x^2}+2+{\color{Red} \frac{1}{x^2}}\rightarrow \left(x+\frac{1}{x}\right)^2={\color{Red} x^2}+2+{\color{Red} \frac{1}{x^2}}\\\ Como\ x^2+\frac{1}{x^2}=7 \rightarrow \left(x+\frac{1}{x}\right)^2=7+2\rightarrow \rightarrow \left(x+\frac{1}{x}\right)^2=9\rightarrow\rightarrow \left(x+\frac{1}{x}\right)=\sqrt{9}\rightarrow \left(x+\frac{1}{x}\right)=3[/tex3]

Você precisa encontrar [tex3]x^5 +\frac{1}{x^5}[/tex3] e como você tem [tex3]x^4 +\frac{1}{x^4}[/tex3] multiplica-se por [tex3]\left({x + }\frac{1}{x}\right)[/tex3] encontrando [tex3]x^5 +\frac{1}{x^5} + x^3 + \frac{1}{x^3} =141[/tex3]

Mas apareceu o [tex3]x^3 + \frac{1}{x^3}[/tex3] e você não tem seu valor. Por isso o colega solicitou que você utilize o mesmo raciocínio e resolva,

Você já tem [tex3]x + \frac{1}{x}[/tex3] e [tex3]x^2 + \frac{1}{x^2}[/tex3] portanto....

[dressajardim]

pode por favor resolver a questão até o final? O gabarito eu já sei, mas eu preciso explicar isso na sexta feira e se eu não entender o passo a passo completo eu não vou conseguir entender a questão toda. Desde já agradeço a ajuda de vocês.

[dressajardim]

amigo você poderia fazer o passo a passo da parte em que você afirma que [tex3]\left(x^{4}+ \frac{1}{^4}\right)*\left(x+\frac{1}{x}\right)= x^5+\frac{1}{x^5}+x^3+\frac{1}{x^3}[/tex3]
Desde já agradesço.

[petrasMOD]

amigo você poderia fazer o passo a passo da parte em que você afirma que
[tex3](x^{4}+ \frac{1}{x^4})*(x+\frac{1}{x})= x^5+\frac{1}{x^5}+x^3+\frac{1}{x^3}[/tex3]
Desde já agradesço.

Basta aplicar a propriedade distributiva e multiplicar cada elemento de uma fração pelo da outra lembrando que na potência bases iguais mantem-se a base e soma-se os expoentes. [tex3]x^{4}.x = x^5[/tex3]

[petrasMOD]

[tex3]\\\left(x+\frac{1}{x}\right)\cdot \left(x^2+\frac{1}{x^2}\right)=3.7\rightarrow x^3+\frac{1}{x}+x+\frac{1}{x^3}=21\rightarrow x^3+\frac{1}{x^3}=21-\left(x+\frac{1}{x}\right)\\\ \\\ x^3+\frac{1}{x^3}=21-3\rightarrow x^3+\frac{1}{x^3}=18 \\\ Voltando\ em\ x^5 +\frac{1}{x^5} + x^3 + \frac{1}{x^3} =141\ e\ substituindo\ o\ valor\ de\ x^3 + \frac{1}{x^3}\rightarrow x^5 +\frac{1}{x^5} + 18 =141\rightarrow \\\ \boxed{\boxed{x^5 +\frac{1}{x^5}=123}}[/tex3]

Verifique o gabarito.

[dressajardim]

Gabarito é 53,ao efetuar a distributiva cheguei a resultado diferente por isso te pedi pra fazer o passo, assim facilita indicar aonde estou errando

[petrasMOD]

[tex3]\\\left({x^4 + }\frac{1}{x^4}\right) \cdot \left({x + }\frac{1}{x}\right)=47 \cdot 3\\\ \\\ x^5+x^3+\frac{1}{x^3}+\frac{1}{x^5}=141\rightarrow x^5+\frac{1}{x^5}+x^3+\frac{1}{x^3}=141[/tex3]