Ensino Médio ⇒ Demonstração: Função Composta x Função Inversa Tópico resolvido

[claudiomarianosilveira]

Sabendo que:

• [tex3]f(x)=\frac{3x-1}{4x}[/tex3]

Prove que:

• [tex3]f\circ f^{-1}(x)=x[/tex3]

[loureiro]

Olá meu amigo!

Vamos à questão:

Calculando a função inversa, temos:

• [tex3]x=\frac{3f^{-1}(x)-1}{4f^{-1}(x)}[/tex3]
  [tex3]4x\cdot f^{-1}(x)-3\cdot f^{-1}(x)=-1[/tex3]
  [tex3]f^{-1}(x)(4x-3)=-1[/tex3]
  [tex3]f^{-1}(x)=\frac{-1}{4x-3}[/tex3]

Fazendo a função composta:

• [tex3]f\circ f^{-1}(x) = f(f^{-1}(x)) = \frac{3(\frac{-1}{4x-3})-1}{4(\frac{-1}{4x-3})}=\frac{\frac{3+4x-3}{4x-3}}{\frac{4}{4x-3}}=\frac{4x}{4}=x[/tex3]

Assim, chegamos no resultado desejado.

E vou aproveitar, se meu amigo Cláudio permitir, a expor a pergunta subentendida inserida nessa propositura, muito interessante por sinal: será que toda composição de uma função com sua inversa dará sempre [tex3]x?[/tex3] Por que?

Parabéns pela questão!
Loureiro

[claudiomarianosilveira]

Olá Loureiro , a resposta para sua pergunta seria:

Sim, pois toda composição de uma função com sua inversa dará sempre a função identidade. E a função Identidade é o elemento neutro das funções.

Abraço!