Física II ⇒ Demonstração: oscilador harmônico amortecido

[KarinaTorre]

Olá!
Estou com algumas dúvidas em relação ao oscilador harmônico amortecido. Me compliquei nesta questão a seguir, devido à utilização de variável complexa. Pela resolução, utiliza-se de algum modo a fórmula de Euler [tex3]e^{ix}[/tex3] = cos(x) + isen(x).

"Mostre que a função x(t)= A [tex3]e^{\frac{-γ}{2}} e^{i(ωt + φ)}[/tex3] satisfaz a equação d²x/dt² + γ.dx/dt + ω₀²x = 0

Derivei a função, mas não cheguei a lugar nenhum. Lembro-me um pouco da demonstração que mostrava a relação entre as frequências angulares ω e ω₀, mas realmente estou muito confusa com tudo isso. Não entendi muito bem essa parte de variável complexa.

Desde já agradeço a ajuda!

[Andre13000]

Acho que tá faltando algo nessa tua função... Não era pra ter um t do lado do "e" elevado a menos gamma sobre 2?

Assim:

[tex3]x(t)=x_me^{\frac{-\gamma t}{2}}e^{i(\omega t+\phi)}[/tex3]

E senão me engano, você deve simplesmente esquecer esse [tex3]e^{i(ωt + φ)}[/tex3] e escrever [tex3]cos(ωt + φ)[/tex3], mas só derivando para saber. Verifique se existe o erro que falei aí.

[KarinaTorre]

Sim, você está certo!! Realmente a função é como você falou.

O problema é que estou me atrapalhando para demonstrar. Derivando a função, fiquei com:
dx/dt = A [tex3]e^{\frac{-γt}{2}}[/tex3][[tex3]\frac{-γ}{2}[/tex3] cos(ωt + φ) - ω.sen(ωt + φ)]
d²x/dt² = A [tex3]e^{\frac{-γt}{2}}[/tex3][ω.[tex3]\frac{γ}{2}[/tex3] sen(ωt + φ) - ω².cos(ωt + φ)]

(não sei se errei algo nas derivações)

Quando tentei encaixar essas duas derivadas na equação diferencial, me perco e parece que não chego a lugar nenhum. Também tenho a relação ω² = ω₀^2 - (γ²/4). Está bem complicado..

[Andre13000]

Ok, vou confiar na minha hipótese de que a unidade imaginária está ali só pra encher o saco e utilizar a identidade de Euler.

Você esqueceu da regra do produto na hora da segunda diferenciação.

[tex3]x(t)=x_me^{\frac{-\gamma t}{2}}e^{i(\omega t+\phi)}=x_me^{\frac{-\gamma t}{2}}\left[\cos(wt+\phi)+i\sen(wt+\phi)\right]\\
\rightarrow x(t)=x_me^{\frac{-\gamma t}{2}}\cos(wt+\phi)\\
x'(t)=x_me^{\frac{-\gamma t}{2}}\cos(wt+\phi)\cdot \frac{-\gamma}{2}+x_me^{\frac{-\gamma t}{2}}\cdot -\sen(wt+\phi)\cdot w\\
x'(t)=-x_me^{\frac{-\gamma t}{2}}\left(\frac{\gamma}{2}cos(wt+\phi)+w\sen(wt+\phi)\right)\\
x''(t)=-x_me^{\frac{-\gamma t}{2}}\cdot \frac{-\gamma }{2}\cdot \left(\frac{\gamma}{2}cos(wt+\phi)+w\sen(wt+\phi)\right)+-x_me^{\frac{-\gamma t}{2}}\cdot \left(-\frac{w\gamma}{2}\sen(wt+\phi)+w^2\cos(wt+\phi)\right)\\
x''(t)=e^{\frac{-\gamma t}{2}}x_m\cos(wt+\phi)\left(\frac{\gamma^2}{4}-w^2\right)+e^{\frac{-\gamma t}{2}}x_m w\gamma \sen(wt+\phi)\\[/tex3]
Utilizando [tex3]w_0^2=w^2-\frac{\gamma^2}{4}[/tex3] e substituindo [tex3]x'(t)[/tex3] em [tex3]x''(t)[/tex3]:

[tex3]x''(t)=e^{\frac{-\gamma t}{2}}x_m\cos(wt+\phi)\left(\frac{\gamma^2}{4}-w^2\right)+e^{\frac{-\gamma t}{2}}x_m w\gamma \sen(wt+\phi)\\
x''(t)=-w_0^2e^{\frac{-\gamma t}{2}}x_m\cos(wt+\phi)+e^{\frac{-\gamma t}{2}}x_m w\gamma \sen(wt+\phi)\\
x''(t)=e^{\frac{-\gamma t}{2}}x_m w\gamma\sen(wt+\phi)-e^{\frac{-\gamma t}{2}}x_mw^2_0cos(wt+\phi)\\
x''(t)=e^{\frac{-\gamma t}{2}}x_m w\gamma\sen(wt+\phi)-w^2_0x\\
x'(t)=-x_me^{\frac{-\gamma t}{2}}\left(\frac{\gamma}{2}cos(wt+\phi)+w\sen(wt+\phi)\right)\\
-\frac{x'(t)}{x_me^{\frac{-\gamma t}{2}}}-\frac{\gamma}{2}cos(wt+\phi)=w\sen(wt+\phi)\\
x''(t)=e^{\frac{-\gamma t}{2}}x_m\gamma\left(-\frac{x'(t)}{x_me^{\frac{-\gamma t}{2}}}-\frac{\gamma}{2}cos(wt+\phi)\right)-w_0^2x\\
x''(t)=-x'(t)\gamma+2e^{\frac{\gamma t}{2}}x_m\frac{\gamma^2}{4}cos(wt+\phi)-w^2_0x\\
x''(t)=-x'(t)\gamma+2x\frac{\gamma^2}{4}-w^2_0x\\
x''(t)+\gamma \cdot x'(t)+w^2x_0=2x\frac{\gamma^2}{4}[/tex3]

Errei algo, vou tentar achar o que é, talvez refaça usando a unidade imaginária.

[Andre13000]

Com unidade complexa:

[tex3]x(t)=x_me^{\frac{-\gamma t}{2}+i(wt+\phi)}\\
x'(t)=x_me^{\frac{-\gamma t}{2}+i(wt+\phi)}\cdot \left(-\frac{\gamma}{2}+iw\right)\\
x''(t)=x_me^{\frac{-\gamma t}{2}+i(wt+\phi)}\left(-\frac{\gamma}{2}+iw\right)^2\\
x''(t)=x'(t)\left(-\frac{\gamma}{2}+iw\right)\\
x''(t)=x'(t)\left(-\sqrt{w^2_0 -w^2}+iw\right)[/tex3]

No meu livro a fórmula de substituição é [tex3]w_0^2=w^2-\frac{\gamma^2}{4}[/tex3], mas talvez seja diferente com esse exercício. Continuemos.

Agora transformando esse número complexo para a forma polar:

[tex3]x''(t)=x'(t)w_0\left(\frac{-\sqrt{w^2_0-w^2}}{w_0}+i\frac{w}{w_0}\right)[/tex3]

Hmm, não sei o que fazer com isso. Talvez esteja de alguma forma relacionado com o ângulo [tex3]wt+\phi[/tex3], mas não tenho certeza. Vamos tentar a outra substituição.

Fazendo [tex3]-\frac{\gamma}{2}=-\sqrt{w^2-w^2_0}[/tex3]:

[tex3]x''(t)=x'(t)\left(-\sqrt{w^2-w^2_0}+iw\right)\\
x''(t)=x'(t)\sqrt{2w^2-w^2_0}\left(\frac{-\sqrt{w^2-w^2_0}+iw}{\sqrt{2w^2-w^2_0}}\right)[/tex3]

Bom, ficou pior ainda.

Mas, voltando à sua substituição:

[tex3]w^2=w_0^2-\frac{\gamma^2}{4}\\
-w^2=\frac{\gamma^2}{4}-w_0^2\\
iw=\sqrt{\frac{\gamma^2}{4}-w_0^2}\\
x''(t)=x'(t)\left(-\frac{\gamma}{2}+\sqrt{\frac{\gamma^2}{4}-w_0^2}\right)[/tex3]

Hmm...

Vou fazer a mesma coisa agora com a minha substituição:

[tex3]w^2=w^2_0+\frac{\gamma^2}{4}\\
iw=i\sqrt{w^2_0+\frac{\gamma^2}{4}}\\
x''(t)=x'(t)\left(-\frac{\gamma}{2}+i\sqrt{w^2_0+\frac{\gamma^2}{4}}\right)[/tex3]

Também parece que não vai dar certo.

Se surgir alguma ideia eu volto e edito.

[KarinaTorre]

Hmm.. Estou tentando aqui também.
Mas muito obrigada mesmo!!