Pré-Vestibular ⇒ (FGV - SP) Trigonometria

[Jhonatan]

A soma cos²0º + cos²2º + cos²4º + cos²6º + ... + cos²358º + cos²360º é igual a:

a) 316
b) 270
c) 181
d) 180
e) 91

R: e)

Amigos, poderiam me ajudar na questão ?
Muito obrigado.

[jarth]

1) [tex3]cos^2(x) + sen^2(x) = 1[/tex3]

2) [tex3]sen^2(x) = cos^2(\pi/2 - x)[/tex3]

3) (1) e (2)[tex3]\\ \Rightarrow cos^2(x) + cos^2(\pi/2-x) = 1[/tex3]


Vou dividir a questão em quatro partes:

[tex3]cos^2(0º)+cos^2(2º)+....+cos^2(90º)[/tex3] - 1º Quadrante
[tex3]cos^2(91º)+cos^2(92º)+....+cos^2(180º)[/tex3] - 2º Quadrante
[tex3]cos^2(181º)+cos^2(182º)+....+cos^2(270º)[/tex3] - 3º Quadrante
[tex3]cos^2(271º)+cos^2(272º)+....+cos^2(360º)[/tex3] - 4º Quadrante

Temos de 3) que:

[tex3]cos^2(0º) + cos^2(\pi/2-0º) = cos^2(0º) + cos^2(\pi/2) = 1[/tex3],

Mas, [tex3]cos(x) = cos(-x)[/tex3],
logo: [tex3]cos^2(0º) + cos^2(\pi/2-0º) = cos^2(0º) + cos^2(-\pi/2) = 1[/tex3]

E cobrimos o 1º e o 4º quadrantes (exeto cos^2(270º)):
[tex3]cos^2(2º) + cos^2(-(\pi/2-2º)) = cos^2(2º) + cos^2(-88º) = cos^2(272º) = 1[/tex3]
...
[tex3]cos^2(90º) + cos^2(-(\pi/2-0º)) = cos^2(90º) + cos^2(0º) = cos^2(90º)+cos^2(360º) = 1[/tex3] , pois [tex3](0º = 360º)[/tex3]

Total: 46

Para o 2º e 3º quadrantes é análogo, só que você usa:
[tex3]sen^2(x) = cos^2(\pi/2+x) \Rightarrow cos^2(x)+cos^2(\pi/2+x) = 1[/tex3]

[Jhonatan]

Muito obrigado pela ajuda, Jarth.