Ensino Médio ⇒ Geometria Plana: Triângulos, aspectos angulares

[Auto Excluído (ID:17906)]

Se AB = BC, calcule o valor de x:

a) [tex3]28^{\circ}[/tex3]
b) [tex3]31^{\circ}[/tex3]
c) [tex3]30^{\circ}[/tex3]
d) [tex3]26^{\circ}[/tex3]
d) [tex3]24^{\circ}[/tex3]

[paulo testoniMOD]

Hola.

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Prolongue o seguimento [tex3]\overline{OA}[/tex3] até o ponto P de modo que [tex3]\overline{PB}=\overline{OB}[/tex3] e [tex3]\angle{APB}=\angle{AOB}=\theta[/tex3].

Assim o [tex3]\Delta{PBO}[/tex3] é isósceles. Então [tex3]\angle{PBO}={180^\circ}-2\theta.[/tex3] Além disso, [tex3]\angle{ABO}={180^\circ.}[/tex3] Portanto, [tex3]\angle{ABP}=\theta[/tex3].
Desta forma, [tex3]\Delta{APB}[/tex3] é isósceles, então: [tex3]\overline{AB}=\overline{AP}.[/tex3]

Como [tex3]\angle{PBA}=\theta[/tex3] e [tex3]\angle{BAO}=2\theta.[/tex3] Por propriedade do triângulo inscrito na circunferência de raio [tex3]\overline{AP}=\overline{AB},[/tex3] temos que [tex3]\overline{AO}=\overline{AP}.[/tex3] Logo, [tex3]\Delta{ABO}[/tex3] é isósceles e assim [tex3]\angle{ABO}=\angle{AOB}=\theta.[/tex3] Mas, [tex3]\angle{ABO}={180^\circ}-3\theta[/tex3]
[tex3]{180^\circ}-3\theta=\theta[/tex3] ==> [tex3]\boxed{\theta=45^\circ}[/tex3]
Além disso, [tex3]4\theta-60^\circ=2y[/tex3] ==> [tex3]180^\circ-60^\circ=2y[/tex3]
[tex3]120^\circ=2y[/tex3] ==> [tex3]\boxed{y=60^\circ}.[/tex3] Assim, [tex3]\angle{ABC}=60^\circ[/tex3] ==> [tex3]\angle{OBC}=15^\circ.[/tex3] Note que [tex3]\Delta{ABC}[/tex3] é eqüilátero, então: [tex3]\Delta{CAO}[/tex3] é isósceles e [tex3]\angle{CAO}=30^\circ[/tex3]

Olhando no [tex3]\Delta{OAC}[/tex3], temos:

[tex3]30^\circ+2*(\theta+x)=180^\circ\\
2*(\theta+x)=180^\circ – 30^\circ\\
\theta+x=\frac{150^\circ}{2}\\
x = 75^\circ-\theta[/tex3]

mas: [tex3]\theta=45^\circ[/tex3], então:

[tex3]x = 75^\circ-\theta\\
x= 75^\circ-45^\circ\\
\boxed{x = 30^\circ}.[/tex3]

[Auto Excluído (ID:17906)]

Muito Obrigado Paulo Testoni

[paulo testoniMOD]

Hola.

Disponha. Parece ser um exercício de olimpíadas. Procede?

[Auto Excluído (ID:17906)]

Sim, meu professor disse que parecia ser de uma olimpíada de matemática de algum país do Leste Europeu.

[paulo testoniMOD]

Hola.

Nesse caso, temos um fórum específico para isso. http://www.tutorbrasil.com.br/forum/viewforum.php?f=20

[Auto Excluído (ID:17906)]

Antes eu não sabia de que banca era