Ensino Médio ⇒ PG - Crescente - Triângulo - Retângulo Tópico resolvido

[ismaelmat]

66.407-Em um triângulo retângulo, as medidas, numa mesma unidade de comprimento, do cateto menor, do cateto maior e da hipotenusa, formam uma progressão geométrica, nessa ordem. A razão q dessa PG satisfaz a condição:

a) 0,7 < q < 0,9

b) 0,9 < q < 1

c) 1 < q < 2

d) 2 < q < 3

e) 3 < q < 3,2

Gabarito:

Resposta

---

C

[Ivo213]

66.407-Em um triângulo retângulo, as medidas, numa mesma unidade de comprimento, do cateto menor, do cateto maior e da hipotenusa, formam uma progressão geométrica, nessa ordem. A razão q dessa PG satisfaz a condição:

a) 0,7 < q < 0,9

b) 0,9 < q < 1

c) 1 < q < 2

d) 2 < q < 3

e) 3 < q < 3,2

Gabarito:

Resposta

---

C

Considere:
b = cateto menor = b
c = cateto maior = bq
a = hipotenusa = bq²

Aplicando-se Pitágoras, vem:
(b)^2 + (bq)^2 = (bq²)^2
b² + b²q² = b²q⁴
b²q⁴ - b²q² - b² = 0

Dividindo tudo por b², fica:
q⁴ - q² - 1 = 0

y² = q⁴
y = q²

y² - y - 1 = 0

Resolvendo por Bhaskara:
y = (1 [tex3]\pm \sqrt{5}[/tex3])/2

Como y=q², vem:
q = [tex3]\sqrt{(1+\sqrt{5})/2}[/tex3]
q ≈ 1,27

Alternativa (C)


"O ladrão vem somente para roubar, matar e destruir; eu vim para que tenham vida e a tenham em abundância" — Jesus Cristo, em João 10:10