Pré-Vestibular ⇒ (UnB - 1993) Geometria Plana: Área de Figuras Planas Tópico resolvido

[ALDRINMOD]

Inscreva e circunscreva dois hexágonos regulares em uma mesma circunferência de raio igual a [tex3]\sqrt[4]{12}\,\text{cm}.[/tex3] Calcule, em [tex3]\text{cm}^2[/tex3], a área da região compreendida entre os dois polígonos.

[Thales Gheós]

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Área do hexágono circunscrito (6 vezes a área [tex3]A_T[/tex3] do triângulo):

o ângulo central é [tex3]60^o[/tex3] portanto: [tex3]tan(30)=\frac{a}{2r}\,\rightarrow\,a=\frac{2r\sqrt{3}}{3}[/tex3]

[tex3]A_{hc}=6(\frac{2r\sqrt{3}}{3}\cdot\frac{r}{2})\,\rightarrow\,\boxed{A_{hc}=2r^2\sqrt{3}}[/tex3]

Área do hexágono inscrito (6 vezes a área [tex3]A_T[/tex3] do triângulo):

a altura do triângulo é [tex3]h=\sqrt{r^2-\frac{r^2}{4}}\,\rightarrow\,h=\frac{r\sqrt{3}}{2}[/tex3]

[tex3]A_{hi}=6(\frac{r}{2}\cdot\frac{r\sqrt{3}}{2})\,\rightarrow\,\boxed{A_{hi}=\frac{3r^2\sqrt{3}}{2}}[/tex3]

[tex3]A_{hc}-A_{hi}=2r^2\sqrt{3}-\frac{3r^2\sqrt{3}}{2}\,\rightarrow\,\boxed{\Delta{}A=\frac{r^2\sqrt{3}}{2}}[/tex3]

[tex3]r^2=\sqrt{12}\rightarrow2\sqrt{3}[/tex3]

[tex3]\Delta{}A=\frac{2\sqrt{3}\sqrt{3}}{2}\,\rightarrow\,\boxed{\Delta{}A=3}[/tex3]

[ALDRINMOD]

Valeu Thales.