Pré-Vestibular ⇒ (FGV)Equação

[Flavio2020]

As duas raízes da equação [tex3]x^{2}[/tex3] +63x+k=0 na incógnita x são números inteiros e primos. O total de valores distintos que K pode assumir é:
a)4
b)3
c)2
d)1
e)0

[csmarceloMOD]

[tex3]k[/tex3] corresponde ao produto das raízes. Logo, [tex3]k[/tex3] poderá assumir tantos valores quantos forem as combinações possíveis dessas.

Sabemos que a soma das raízes é igual a -63.

Para que a soma de duas parcelas resulte em um número ímpar, uma delas deve ser par; a outra, ímpar.

O único número primo par é o 2. Dessa forma, para que a soma resulte em 63, o outro número só pode ser 61.

Como a soma das raízes é, na verdade, -63, elas são, de fato, -2 e -61.

Só temos uma combinação possível de raízes. Portanto, [tex3]k[/tex3] pode assumir um único valor, a saber, [tex3](-2)(-61)=122[/tex3].

[heitkrr]

Não sei se é falta de conteúdo, mas o que impede de substituir em x os números primos e ir procurando o valor de k? Note que se fizermos isso, acharemos infinitos valores de k. Mas não entendi o porquê estaria errado. Ele não estaria seguindo princípios da equação de segundo grau? Pois eu substitui nela, sem qualquer outra alteração.