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Auto Excluído (ID:17906)

Abr 2017 18 21:45

IMO - 1979 - Aritmética

Mensagempor Auto Excluído (ID:17906) » 18 Abr 2017, 21:45

Mensagem por Auto Excluído (ID:17906) » 18 Abr 2017, 21:45

Sejam p e q números inteiros estritamente positivos tais que:
[tex3]\frac{p}{q}[/tex3] = 1 - [tex3]\frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4}[/tex3] + ... - [tex3]\frac{1}{1318} + \frac{1}{1319}[/tex3].
Mostre que 1979 divide p.

Editado pela última vez por Auto Excluído (ID:17906) em 18 Abr 2017, 21:45, em um total de 1 vez.

Auto Excluído (ID:17906)

goncalves3718 Offline: Mensagens: 816; Registrado em: 26 Dez 2019, 15:26; Agradeceu: 19 vezes; Agradeceram: 31 vezes

Fev 2020 08 23:05

Re: IMO - 1979 - Aritmética

Mensagempor goncalves3718 » 08 Fev 2020, 23:05

Mensagem por goncalves3718 » 08 Fev 2020, 23:05

A dica que eu tenho para essa questão é usar a Identidade de Catalão, mas não conheço e não sei nada sobre! Caso você saiba, espero ter ajudado...

goncalves3718

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(IMO - 1979) Soma de Frações

Últ. msg por FilipeCaceres « 15 Jul 2012, 18:16
Enviado em Olimpíadas
Resp.: 1
por theblackmamba » 10 Jul 2012, 10:44 » em Olimpíadas

Primeira Postagem

theblackmamba

Seja [tex3]m[/tex3] e [tex3]n[/tex3] números inteiros positivos tal que:

[tex3]\frac{m}{n}=1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+...-\frac{1}{1318}+\frac{1}{1319}[/tex3].

Prove que [tex3]m[/tex3] é divisível por 1979.

Últ. msg

FilipeCaceres

Olá theblackmamba,

Vou usar o método que já mostrei várias vezes no fórum.

[tex3]\frac{m}{n}= 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \cdots + \frac{1}{1318} + \frac{1}{1319} - (1 + \frac{1}{2} + \cdots + \frac{1}{659})[/tex3]
\frac{m}{n}=...
FilipeCaceres1theblackmamba1: 1 Resp.; 904 Exibições; Últ. msg por FilipeCaceres
15 Jul 2012, 18:16

(IMO 1979) Frações Irredutíveis

Últ. msg por Tassandro « 15 Jun 2020, 18:28
Enviado em Olimpíadas
Resp.: 3
por Auto Excluído (ID: 24633) » 15 Jun 2020, 16:17 » em Olimpíadas

Primeira Postagem

Auto Excluído (ID: 24633)

Sejam [tex3]p, q[/tex3] números naturais primos entre si tais que:
[tex3]~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\dfrac{p}{q}=1-\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}-...-\dfrac{1}{1318}+\dfrac{1}{1319}[/tex3].
Prove que [tex3]p[/tex3] é divisível por [tex3]1979[/tex3].

Últ. msg

Tassandro

pedro1729,
Dever de casa
Dica: 1979 é primo
Tassandro2Auto Excluído (ID: 24633)2: 3 Resp.; 1857 Exibições; Últ. msg por Tassandro
15 Jun 2020, 18:28

(IMO) Aritmética

Últ. msg por manerinhu « 08 Mai 2012, 23:22
Enviado em Olimpíadas
Resp.: 1
por Cássio » 08 Mai 2012, 18:09 » em Olimpíadas

Primeira Postagem

Cássio

Ache todos os [tex3]n\in\mathbb{N}[/tex3] tais que o produto dos algarismos da representação decimal de [tex3]n[/tex3] seja igual a [tex3]n^2-10n-22.[/tex3]

Últ. msg

manerinhu

vi essa resposta na internet, alguém confirma?:

N Algarismos de [tex3]n[/tex3] são [tex3]n1, n2, n3,[/tex3] etc...

[tex3]n = 10^{(N-1)}*n1 + 10^{(N-2)}*n2 + 10^{(N-3)}*n3[/tex3] ...

[tex3]n1*n2*n3...= (10^{(N-1)}*n1 + 10^{(N-2)}*n2 + 10^{(N-3)}*n3 ...)²[/tex3]...
Cássio1manerinhu1: 1 Resp.; 978 Exibições; Últ. msg por manerinhu
08 Mai 2012, 23:22

(IMO) Divisores e aritmética

Últ. msg por manerinhu « 03 Jun 2013, 11:07
Enviado em Olimpíadas
Resp.: 1
por PedroCunha » 03 Jun 2013, 00:01 » em Olimpíadas

Primeira Postagem

PedroCunha

Segue a questão amigos:
Não possuo gabarito.

Obrigado pela atenção

Att.,
Pedro

¹ Devido a fonte do exercício, não tenho certeza se no enunciado é [tex3]6x[/tex3] ou [tex3]6^x[/tex3]

Últ. msg

manerinhu

decompondo 12600 em fatores primos, teremos
[tex3]12600 = 2^3*3^2*5^2*7[/tex3]
o numero de divisores pares será, então, igual a 54 = 9*6
dessa forma, x = 9

vamos verificar os numeros agora, de baixo para cima

[tex3]66999^{66998} = (66990 + 9)^{66998}[/tex3]...
manerinhu1PedroCunha1: 1 Resp.; 774 Exibições; Últ. msg por manerinhu
03 Jun 2013, 11:07

Aritmética - Canadian IMO training camps Winter 2022

Últ. msg por leozitz « 25 Jun 2022, 21:50
Enviado em Olimpíadas
Resp.: 1
por Babi123 » 25 Jun 2022, 18:28 » em Olimpíadas

Primeira Postagem

Babi123

Para cada inteiro positivo [tex3]n[/tex3], seja [tex3]s(n)[/tex3] a soma dos quadrados dos algarismos de [tex3]n[/tex3]. Por exemplo [tex3]s(15)=1^2+5^2=26[/tex3]. Determine todos os inteiros [tex3]n\geq1[/tex3] tal que [tex3]s(n)=n[/tex3].

Últ. msg

leozitz

[tex3]n = \overline{x_kx_{k-1}...x_1x_0}_{(10)} = 10^{k}x_k + 10^{k-1}x_{k-1} + ... + 10x_1 + x_0 \ge 10^k[/tex3]
[tex3]s(n) = \sum_{i=0}^{k}x_i^2 \le \sum_{i=0}^{k}9^2 = 9^2(k+1)[/tex3]
[tex3]10^k\le 9^2(k+1)[/tex3]
para k = 3 isso é falso, então...
Babi1231leozitz1: 1 Resp.; 900 Exibições; Últ. msg por leozitz
25 Jun 2022, 21:50

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