Ensino Superior ⇒ Aplicações da Derivação Tópico resolvido

[Andre13000]

Uma polia está presa ao teto de uma quarto no ponto C por uma corda de comprimento r. Em outro ponto B no teto, a uma distância d de C (onde d>r), a corda de comprimento l é amarrada pela polia em um ponto F e tento preso a si um peso W. O peso é solto e encontra sua posição de equilíbrio em D. Isso ocorre quando a distância ED é maximizada.

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Mostre que, quando o sistema alcança o equilíbrio, o valor de x é:

[tex3]\frac{r}{4d}(r+\sqrt{r^2+8d^2})[/tex3]

[Andre13000]

Só pra explicar melhor o que acontece, seria basicamente isso:

[tex3]ED=EF+FD\\
EF=\sqrt{r^2-x^2}\\
FD=l-BF\\
BF=\sqrt{BE^2+EF^2}=\sqrt{(d-x)^2+r^2-x^2}=\sqrt{d^2+r^2-2dx}\\
ED=l-\sqrt{d^2+r^2-2dx}+\sqrt{r^2-x^2}\\[/tex3]

Chamando a distância ED de z e derivando:

[tex3]z=l-\sqrt{d^2+r^2-2dx}+\sqrt{r^2-x^2}\\
z'=\frac{\cancel2d}{\cancel2\sqrt{d^2+r^2-2dx}}+\frac{-\cancel2x}{\cancel2\sqrt{r^2-x^2}}=0\\[/tex3]

Expandindo esse treco nos dá [tex3]x^3(2d)+x^2(r^2-2d^2)+d^2r^2=0[/tex3]

Existe algum modo fácil de achar essas raízes?

[undefinied3]

Acho que você acabou errando o sinal. Expandindo na verdade ficamos com

[tex3]2dx^3-(r^2+2d^2)x^2+r^2d^2[/tex3]

Um jeito genérico de resolver todas equações assim não tem não. O que acontece é que d é raiz dessa equação por inspeção, que é uma tentativa que fazemos devido a presença de fatores d e r nos coeficientes.
Fatorando:
[tex3](x-d)(2 d x^2 - r^2 x-d r^2)=0[/tex3]

E aí é só aplicar bháskara que sai.