Pré-Vestibular ⇒ (UFPB - 1968) Geometria Analítica: Reta e Circunferência Tópico resolvido

[ALDRINMOD]

Determine a equação da tangente à circunferência de círculo no ponto [tex3]A,[/tex3] circunscrita ao triângulo isósceles [tex3]ABC,[/tex3] sabendo que os vértices da base desse triângulo são [tex3]A(0, 4)[/tex3] e [tex3]B(3, 0)[/tex3] e que o terceiro vértice é um ponto da reta [tex3]x + y-7= 0.[/tex3]

[fabit]

Seja O o circuncentro. O vetor [tex3]\vec{OA}[/tex3] é normal à reta procurada, pois é raio do círculo que passa por A.

Queremos portanto achar O. Entendo que "vértices da base do triângulo são A e B" significa que os lados congruentes do triângulo são AC=BC e portanto a mediatriz de AB é o eixo de simetria do triângulo, passando não somente por O mas também por C.

Como [tex3]\vec{AB}[/tex3] é normal a essa mediatriz, sendo [tex3]M=\frac{A+B}{2}=(\frac{3}{2};2)[/tex3], temos a equação da mediatriz:
[tex3](x-\frac{3}{2};y-2)\bullet(3;-4)=0\Rightarrow3(x-\frac{3}{2})=4(y-2)\Rightarrow3x-\frac{9}{2}=4y-8\Rightarrow6x-8y+7=0[/tex3]

Para descobrir C, resolvemos o sistema [tex3]\{{6x-8y+7=0}\\{x+y=7}[/tex3]

De cabeça achei [tex3]x=\frac{7}{2}[/tex3] e aí [tex3]C=(\frac{7}{2};\frac{7}{2})[/tex3]

Seja [tex3]N=\frac{A+C}{2}=(\frac{7}{4};\frac{15}{4})[/tex3] o ponto médio de AC. Vamos encontrar a equação da mediatriz NO:
[tex3](x-\frac{7}{4};y-\frac{15}{4})\bullet\vec{AC}=0\Rightarrow(x-\frac{7}{4};y-\frac{15}{4})\bullet(\frac{7}{2};\frac{-1}{2})=0\Rightarrow7(4x-7)=4y-15\Rightarrow28x-4y-34=0[/tex3]

Para achar O: [tex3]\{{28x-4y-34=0}\\{6x-8y+7=0}[/tex3].

Vou dobrar a primeira: [tex3]56x-8y=68[/tex3] e tirar dela a segunda na forma [tex3]6x-8y=-7[/tex3]. Fica [tex3]50x=68-(-7)=75[/tex3].

Logo [tex3]x=\frac{3}{2}[/tex3] e aí [tex3]O=(\frac{3}{2};2)[/tex3]. Então [tex3]\vec{OA}=A-O=(0-\frac{3}{2};4-2)=(\frac{-3}{2};2)[/tex3] e a tangente procurada (finalmente) é obtida assim:
[tex3](x-x_A;y-y_A)\bullet\vec{OA}=0\Rightarrow(x-0;y-4)\bullet(\frac{-3}{2};2)=0\Rightarrow\frac{-3x}{2}+2(y-4)=0\Rightarrow2y-8=\frac{3x}{2}\Rightarrow3x=4y-16\Rightarrow3x-4y+16=0[/tex3]

É muito trabalho! A chance de estar errado é grande. Faça uma figura para acompanhar isso tudo, ok?

[Thales Gheós]

Gráfico ilustrativo da solução pelo fabit

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[ALDRINMOD]

Valeu, fabit e Thales.

Obrigado