Olimpíadas ⇒ Cone Sul - 2016 - Álgebra Tópico resolvido

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Seja [tex3]abcd[/tex3] um dos [tex3]9999[/tex3] números [tex3]0001, 0002,
0003, ..., 9998, 9999[/tex3]. Dizemos que [tex3]abcd[/tex3] é especial se [tex3]ab-cd[/tex3] e [tex3]ab+cd[/tex3] são quadrados perfeitos, [tex3]ab-cd[/tex3] divide [tex3]ab+cd[/tex3], é além disso [tex3]ab+cd[/tex3] divide [tex3]abcd[/tex3]. Por exemplo, 2016 é especial.
Encontrar todos os números [tex3]abcd[/tex3] especiais.
Nota. Se [tex3]abcd = 0206[/tex3] então [tex3]ab = 02[/tex3] e [tex3]cd = 05.[/tex3]

[Ittalo25MOD]

Vou deixar uns pensamentos aqui, talvez ajude alguém a conseguir resolver


[tex3]10a+b+10c+d = \overline{ab}+\overline{cd}[/tex3] é um quadrado perfeito e [tex3]max\{10a+b+10c+d\} = 198[/tex3], logo: [tex3]10a+b+10c+d \in \{(1)^2, ( 2)^2, (3)^2, ..., (14)^2\}[/tex3].

De [tex3]\overline{ab}+\overline{cd} | \overline{abcd}[/tex3] segue que:

[tex3]10a+b+10c+d | 1000a +100b+10c+d[/tex3]
[tex3]10a+b+10c+d | 1000a +100b+10c+d - (10a+b+10c+d)[/tex3]
[tex3]10a+b+10c+d | 3^2 \cdot 11 \cdot (10a +b)[/tex3]


De:

[tex3]\begin{cases}
\overline{ab}+\overline{cd} | \overline{abcd} \\
\overline{ab}-\overline{cd} | \overline{ab}+\overline{cd}
\end{cases}[/tex3]

segue pela transitividade que:

[tex3]\overline{ab}-\overline{cd} | \overline{abcd}[/tex3], ou seja:

[tex3]\overline{ab}-\overline{cd} | \overline{abcd}[/tex3]
[tex3]10a+b-10c-d |1000a +100b+10c+d[/tex3]
[tex3]10a+b-10c-d |1000a +100b+10c+d+(10a+b-10c-d )[/tex3]
[tex3]10a+b-10c-d |101 \cdot (10a +b)[/tex3]

Mas 101 é primo e [tex3]max\{10a+b-10c-d\} = 99[/tex3], logo:

[tex3]10a+b-10c-d |10a +b[/tex3]

[tex3]10a+b-10c-d = \overline{ab}-\overline{cd}[/tex3] é um quadrado perfeito e [tex3]max\{10a+b-10c-d\} = 99[/tex3], logo: [tex3]10a+b-10c-d \in \{(\pm 1)^2, (\pm 2)^2, (\pm 3)^2, ..., (\pm 9)^2\}[/tex3].

[undefinied3]

[tex3]ab-cd=u^2<100[/tex3], então [tex3]u < 10[/tex3]
[tex3]ab+cd=v^2<198[/tex3], então [tex3]v < 15[/tex3]
[tex3]2ab=u^2+v^2 \rightarrow ab=\frac{u^2+v^2}{2}[/tex3]
[tex3]2cd=v^2-y^2 \rightarrow cd=\frac{v^2-u^2}{2}[/tex3]
Então u e v possuem mesma paridade
Além disso, [tex3]u^2 | v^2 \rightarrow v^2=ku^2[/tex3] segue que [tex3]k=k'^2[/tex3]
[tex3]v=k'u < 15[/tex3]
Então temos os pares (k',u)
(1,1) (1,2) (1,3) (1,4) ... (1,14)
(2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5) (2,6) (2,7)
(3,1) (3,2) (3,3) (3,4)
(4,1) (4,2) (4,3)
(5,1) (5,2)
(6,1) (6,2)
(7,1) (7,2)
(8,1)
...
(14,1)
Mas pelo argumento da paridade, se u for ímpar, k' deve ser ímpar, então ficamos com
(1,1) (1,2) .. (1,14)
(2,2) (2,4) (2,6)
(3,1) (3,2) (3,3) (3,4)
(4,2) (5,1) (5,2)
(6,2) (7,1) (7,2)
(9,1) (11,1) (13,1)

Finalmente, [tex3]ab+cd | abcd \rightarrow v^2|100\frac{(u^2+v^2)}{2}+\frac{v^2-u ^2}{2}=\frac{101v^2+99u^2}{2}[/tex3]
Então [tex3]v^2|101v^2+99u^2 \rightarrow v^2|99u^2[/tex3]
[tex3]99u^2=pv^2 \rightarrow 99u^2=pk'^2u^2 \rightarrow 99=pk'^2 \rightarrow k'^2=\frac{9.11}{p}[/tex3], segue que p=11 ou p=99
Se p=11, [tex3]k'=3[/tex3]. Da lista de pares, tiramos (3,1) (3,2) (3,3) (3,4), então [tex3]v^2=9,u^2=1[/tex3], [tex3]v^2=36,u^2=4[/tex3], [tex3]v^2=81,u^2=9[/tex3], [tex3]v^2=144,u^2=16[/tex3]
Temos os números
[tex3]0504[/tex3]
[tex3]2016[/tex3]
[tex3]4536[/tex3]
[tex3]8064[/tex3]

Se p=99, [tex3]k'=1[/tex3], da onde tiramos todos os pares (1,1) (1,2) .. (1,14), e assim [tex3]v^2=u^2=1^2,2^2,3^2...14^2[/tex3], então cd=0 e temos os números:
[tex3]0100[/tex3] [tex3]0400[/tex3] [tex3]0900[/tex3] [tex3]1600[/tex3] [tex3]2500[/tex3] ... [tex3]8100[/tex3]

Acho que é isso.