Ensino Médio ⇒ Equações do segundo grau Tópico resolvido

[undefinied3]

Sejam a, b, c, números reais tais que as equações [tex3]x^2+ax+1=0[/tex3] e [tex3]x^2+bx+c=0[/tex3] têm exatamente uma raiz real em comum e as equações [tex3]x^2+x+a=0[/tex3] e [tex3]x^2+cx+b=0[/tex3] também têm exatamente uma raiz real em comum. Determine a soma [tex3]a+b+c[/tex3].
(Sem gabarito)

[Andre13000]

Seja [tex3]p[/tex3] a primeira raíz em comum e a segunda, [tex3]q[/tex3].

[tex3]p^2+ap+1=0~(1)\\
p^2+bp+c=0~(2)\\
\\
q^2+q+a=0~(3)\\
q^2+cq+b=0~(4)\\
(1)-(2)=p(a-b)+1-c=0\\
(3)-(4)=q(1-c)+a-b=0\\
p(a-b)=c-1\\
a-b=q(c-1)\\
\frac{p(a-b)}{a-b}=\frac{c-1}{q(c-1)}\to p=\frac{1}{q}[/tex3]

Substituindo adequadamente, teremos quatro equações:

[tex3]q^2+q+a=0~(5)\\
q^2+cq+b=0~(6)\\
q^2+aq+1=0~(7)\\
cq^2+bq+1=0~(8)\\
(5)-(7)=q(1-a)+a-1=0\\
q(1-a)=1-a[/tex3]

Tiramos daqui que 1: [tex3]a\neq 1[/tex3] e [tex3]q=1[/tex3] ou que 2: [tex3]a=1[/tex3]

No caso 1, temos que:

[tex3]1+1+a=0\\
1+c+b=0\\
1+a+1=0\\
c+b+1=0[/tex3]

Somando tudo:

[tex3]2(a+b+c)+6=0\\
a+b+c=-3[/tex3]

A solução é válida pois [tex3]a=-2[/tex3]

Para o caso 2:

[tex3]q^2+q+1=0\\
q^2+cq+b=0\\
q^2+q+1=0\\
cq^2+bq+1=0[/tex3]

Mas [tex3]q[/tex3] é real, então este caso está descartado.