Olimpíadas ⇒ Olimpíada da Coréia do Sul - Divisibilidade Tópico resolvido

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Encontre todos os inteiros [tex3]n[/tex3] tais que [tex3]2^{n} - 1[/tex3] é um múltiplo de [tex3]3[/tex3] e [tex3]\frac{2^{n} - 1}{3}[/tex3] é um divisor de [tex3]4m^{2} + 1[/tex3] para algum inteiro [tex3]m[/tex3].

[Ittalo25MOD]

se [tex3]m \equiv 0 \mod 3[/tex3] então [tex3]m^{2} \equiv 0 \mod 3[/tex3]

se [tex3]m \equiv 1 \mod 3[/tex3] então [tex3]m^{2} \equiv 1 \mod 3[/tex3]

se [tex3]m \equiv 2 \mod 3[/tex3] então [tex3]m^{2} \equiv 1 \mod 3[/tex3]

portanto [tex3]4m^{2} + 1[/tex3] não é divisível por 3

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se n é par então [tex3]2^{n} \equiv 1 \mod 3[/tex3]

se n é ímpar então [tex3]2^{n} \equiv 2 \mod 3[/tex3]

logo [tex3]n = 2k[/tex3] para algum natural k

[tex3](2^{k}-1) \cdot (2^{k}+1) = 2^{n} - 1[/tex3]

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[tex3]\frac{3\cdot (4m^2+1) }{2^n-1} = \frac{3\cdot (4m^2+1) }{(2^{k}-1) \cdot (2^{k}+1)} \in \mathbb{N}[/tex3]

Com [tex3]mdc (2^{k}-1, 2^{k}+1) = mdc (2^{k}-1, 2^{k}+1-2^{k}+1) =mdc (2^{k}-1, 2) = 1[/tex3]

e também [tex3]mdc (3, 4m^2+1) = 1[/tex3]

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travei aqui