Ensino Médio ⇒ Ângulos (semelhança e relações métricas no triângulo retângulo) Tópico resolvido

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Na figura abaixo sabemos que [tex3]ADE = EDF = FDB = 45°[/tex3],[tex3]DBC = DBA[/tex3]. Calcule o valor de [tex3]FB[/tex3] sabendo que [tex3]HG = 1[/tex3] e [tex3]AE = 5[/tex3].

a) [tex3]2.[/tex3]
b) [tex3]\frac{3}{2}.[/tex3]
c) [tex3]\frac{3}{5}.[/tex3]
d) [tex3]3.[/tex3]

[Killin]

up

[rodBR]

Olá GuiBernardo, boa noite.

Inicialmente percebamos que:

I) [tex3]< HDG= \ < ADE\ \ (pois,\ são\ \ o.p.v)[/tex3]
II) [tex3]\overline{BD}\ é \ bissetriz\ do \ ângulo\ \ < HBE\ \ e \ \ < BDE=90°. Então,\ disso\ temos\ que\ \overline{BD}\ é \ \ também\ mediatriz.Logo \ \overline{DH}=\overline{DE}.[/tex3]

De (I) e (II): [tex3]\Delta BDH≡\Delta EDB \ \ (Pelo\ \ caso \ \ de \ \ congruência \ \ LAL)\ \ , disso \ \ implica \ \ que \ \ \Delta HDG≡\Delta EDF.[/tex3]

Da última congruência implica que [tex3]\overline{HG}=\overline{EF}=1[/tex3].

Agora utilizando o fato de [tex3]\overline{DE}\ \ ser\ \ bissetriz\ \ interna\ \ (\Delta ADF), e\ \ \overline{DB}\ \ ser\ \ bissetriz \ \ externa\ \ (\Delta ADF)[/tex3] vamos utilizar o Teorema da Bissetriz interna e Teorema da bissetriz externa, respectivamente:

Pelo teorema da bissetriz interna [tex3]\Delta ADF[/tex3] (sendo [tex3]\overline{DE}\ \ a \ \ bissetriz \ \ interna[/tex3]):

[tex3]\frac{\overline{DA}}{\overline{AE}}=\frac{\overline{DF}}{\overline{EF}}[/tex3]

[tex3]\frac{\overline{DA}}{5}=\frac{\overline{DF}}{1}\ \ \rightarrow \ \frac{\overline{DF}}{\overline{DA}}=\frac{1}{5}[/tex3]

Pelo teorema da bissetriz externa [tex3]\Delta ADF[/tex3] (sendo [tex3]\overline{DB}\ \ a \ \ bissetriz \ \ externa[/tex3]):

[tex3]\frac{\overline{DF}}{\overline{FB}}=\frac{\overline{DA}}{\overline{AB}}[/tex3]

[tex3]\frac{\overline{DF}}{\overline{FB}}=\frac{\overline{DA}}{5+1+\overline{FB}}[/tex3]

[tex3]\frac{\overline{DF}}{\overline{DA}}=\frac{\overline{FB}}{6+\overline{FB}}[/tex3]

[tex3]\frac{1}{5}=\frac{\overline{FB}}{6+\overline{FB}}[/tex3]

[tex3]6+\overline{FB}=5\cdot \overline{FB}[/tex3]

[tex3]\overline{FB}=\frac{6}{4}\ \ \rightarrow \ \overline{FB}=\frac{3}{2}[/tex3]


Nota: (Teorema da Bissetriz Interna): "Uma bissetriz interna de um triângulo divide o lado oposto em segmentos proporcionais".

Teorema da bissetriz externa: "Se a Bissetriz de um ângulo externo de um triângulo intersecta a reta que contém o lado oposto, então ela divide este lado oposto externamente em segmentos proporcionais aos lados adjacentes".


Att>>rodBR.