Pré-Vestibular ⇒ (UFU) Função Composta x Função Inversa

[claudiomarianosilveira]

Se [tex3]f(x)=2x+k[/tex3] e [tex3]g(x)=mx+1,[/tex3] [tex3]\forall x \in \mathbb{R}[/tex3] determine os valores de [tex3]k[/tex3] e [tex3]m[/tex3] para que [tex3]g \circ f[/tex3] seja a função identidade.

[Thales Gheós]

• [tex3]g(f(x))=m(2x+k)+1[/tex3]
  
  [tex3]m(2x+k)+1=1\\m(2x+k)=0\\m=0\\k\in\mathbb{R}[/tex3]

[claudiomarianosilveira]

Olá Thales tem alguma coisa errada em sua resolução , pois a resposta é:

[tex3]m=1/2[/tex3] e [tex3]k=-2[/tex3]

Abração!

[Karl Weierstrass]

Se [tex3]g(f(x))[/tex3] é a função identidade, então [tex3]g(f(x))\,=\,x.[/tex3]

Donde concluímos que [tex3]f(x)[/tex3] é a inversa de [tex3]g(x)[/tex3].

[tex3](*)\,\,f(f^{-1}(x))=x[/tex3]

[claudiomarianosilveira]

Pessoal preciso de ajuda para resolver esse exercício, consigo apenas resolver parte do pensamento dele.

Sei que [tex3]g(f(x))=x,[/tex3] pois [tex3]g(f(x))[/tex3] é a função identidade.

• [tex3]g(x)=mx+1[/tex3]
  
  [tex3]g(f(x))=m(f(x))+1[/tex3]
  
  [tex3]g(f(x))=m(2x+k)+1[/tex3]

como [tex3]g(f(x))=x[/tex3] vem que:

• [tex3]m(2x+k)+1=x[/tex3]
  
  [tex3]2mx+mk+1=x[/tex3]
  
  [tex3]\text{ }\vdots[/tex3]

Faço a questão até aqui, mas depois tento de todo o jeito mas não consigo chegar nos valores de [tex3]k[/tex3] e [tex3]m[/tex3] pedidos, preciso de uma ajuda.

Abração!

[Thadeu]

Na igualdade [tex3]2mx+mk+1=x,[/tex3] temos:

• [tex3]2m=1\,\Rightarrow\,m=\frac{1}{2}\\mk+1=0\,\Rightarrow\,\left(\frac{1}{2}\right)k=-1\,\Rightarrow\,k=-\frac{1}{\frac{1}{2}}\,\Rightarrow\,k=-2[/tex3]

[Natan]

Vou continuar de onde vc parou:

• [tex3]2mx+mk+1=x[/tex3]
  
  [tex3]m(2x+k)+1=x[/tex3]

Como já foi dito a função identidade é [tex3]y=x,[/tex3] logo se substituirmos [tex3]x[/tex3] por [tex3]3[/tex3] por exemplo devemos achar como imagem o próprio [tex3]3,[/tex3] assim:

• [tex3]m(6+k)+1=3[/tex3] logo: [tex3]m=\frac{2}{6+k}\text{ } (1)[/tex3]

De forma análoga quando trocarmos [tex3]x[/tex3] por [tex3]5[/tex3] por exemplo devemos achar como imagem o próprio [tex3]5,[/tex3] assim:

• [tex3]m(10+k)+1=5,[/tex3]

logo [tex3]m = \frac{4}{10+k}\text{ } (2)[/tex3]

Veja que podemos igualar [tex3](1)[/tex3] com [tex3](2),[/tex3] aí:

• [tex3]\frac{2}{6+k}=\frac{4}{10+k},[/tex3]

assim podemos facilmente ver que [tex3]k=-2[/tex3]

Agora você pode substituir [tex3]k[/tex3] em [tex3](1)[/tex3] ou em [tex3](2)[/tex3] para achar [tex3]m=\frac{1}{2}.[/tex3]

[claudiomarianosilveira]

Gostaria de agradecer ao Natan pela brilhante resolução.
É um método excelente para se resolver a questão, se não se conseguir enxergar pela resolução do Thadeu.

Abração!