Olimpíada do Azerbaijão - 2015 - Geometria Plana

Olimpíadas ⇒ Olimpíada do Azerbaijão - 2015 - Geometria Plana Tópico resolvido

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Auto Excluído (ID:17906)

Mai 2017 08 20:57

Olimpíada do Azerbaijão - 2015 - Geometria Plana

Mensagempor Auto Excluído (ID:17906) » 08 Mai 2017, 20:57

Mensagem por Auto Excluído (ID:17906) » 08 Mai 2017, 20:57

Em um quadrilátero convexo ABCD, o ângulo BAD = 90°, BAC = 2 . BDC e BDA + BCD = 180°. Encontre o valor do ângulo BDA.

Auto Excluído (ID:17906)

Auto Excluído (ID:12031)

Mai 2017 09 01:49

Re: Olimpíada do Azerbaijão - 2015 - Geometria Plana

Mensagempor Auto Excluído (ID:12031) » 09 Mai 2017, 01:49

Mensagem por Auto Excluído (ID:12031) » 09 Mai 2017, 01:49

Uma ideia de construção da imagem é colocar [tex3]BCD[/tex3] em uma circunferência de centro A.
Dessa forma o ângulo [tex3]BDA = 45[/tex3] pois por construção [tex3]BAD = 2*BDA[/tex3] é bem imediato depois da sacada da circunferência pra traçar esse desenho. [tex3]C[/tex3] pode ser qualquer ponto no quadrante formado entre [tex3]B[/tex3] e [tex3]D[/tex3]

Editado pela última vez por Auto Excluído (ID:12031) em 09 Mai 2017, 01:49, em um total de 1 vez.

Auto Excluído (ID:12031)

Auto Excluído (ID:17906)

Mai 2017 09 05:26

Re: Olimpíada do Azerbaijão - 2015 - Geometria Plana

Mensagempor Auto Excluído (ID:17906) » 09 Mai 2017, 05:26

Mensagem por Auto Excluído (ID:17906) » 09 Mai 2017, 05:26

Boa ideia meu amigo.

Auto Excluído (ID:17906)

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por Auto Excluído (ID:17906) » 12 Mai 2017, 17:48 » em Olimpíadas

Primeira Postagem

Auto Excluído (ID:17906)

Encontre todas as soluções inteiras não negativas da equação [tex3]2013^{x} + 2014^{y} = 2015^{z}[/tex3].

Últ. msg

undefinied3

Com x y z inteiros ou reais? Porque se forem reais, existem infinitas soluções.
undefinied31Auto Excluído (ID:17906)3Auto Excluído (ID:12031)1: 4 Resp.; 1324 Exibições; Últ. msg por undefinied3
13 Mai 2017, 13:18

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Últ. msg por Ittalo25 « 29 Mai 2017, 22:30
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por Auto Excluído (ID:17906) » 29 Mai 2017, 16:42 » em Olimpíadas

Primeira Postagem

Auto Excluído (ID:17906)

Todas as letras na palavra [tex3]VUQAR[/tex3] são diferentes e escolhidas do conjunto {[tex3]1,2,3,4,5[/tex3]}. Encontre todas as soluções da equação.
[tex3]\frac{(V+U+Q+A+R)^2}{V-U-Q+A+R}=V^{{{U^Q}^A}^R}[/tex3]

Últ. msg

Ittalo25

[tex3]\frac{3^2 \cdot 5^{2}}{V-U-Q+A+R}=V^{{{U^Q}^A}^R}[/tex3]

Mas [tex3]max\{V-U-Q+A+R\} = 9[/tex3]

Então devemos ter;

[tex3]\begin{cases}
V-U-Q+A+R=9 \\
V-U-Q+A+R=5 \\
V-U-Q+A+R=3 \\
V-U-Q+A+R=1
\end{cases}[/tex3]

Primeira coisa a notar é...
Ittalo251Auto Excluído (ID:17906)1: 1 Resp.; 1101 Exibições; Últ. msg por Ittalo25
29 Mai 2017, 22:30

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Últ. msg por Ittalo25 « 15 Mai 2017, 19:09
Enviado em Olimpíadas
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por Auto Excluído (ID:17906) » 15 Mai 2017, 18:14 » em Olimpíadas

Primeira Postagem

Auto Excluído (ID:17906)

Na representação decimal
[tex3]34!=295232799039a041408476186096435b0000000[/tex3].
Encontre os valores de [tex3]a[/tex3] e [tex3]b[/tex3].

Últ. msg

Ittalo25

[tex3]34![/tex3] é múltiplo de 3 e de 11.

Basta dar uma olhada nos critérios de divisibilidade por 3 e por 11 que o exercício fica fácil de ser resolvido.

Agora estou de saída, não posso resolver
Ittalo251undefinied31Auto Excluído (ID:17906)1: 2 Resp.; 1379 Exibições; Últ. msg por Ittalo25
15 Mai 2017, 19:09

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Enviado em Olimpíadas
Resp.: 3
por Auto Excluído (ID:17906) » 12 Mai 2017, 18:12 » em Olimpíadas

Primeira Postagem

Auto Excluído (ID:17906)

Resolva a equação, [tex3]x^{y}y^{x} = (x + y)^{z}[/tex3].
Sabendo que [tex3]x, y, z[/tex3] devem pertencer ao conjunto dos inteiros positivos.

Últ. msg

Auto Excluído (ID:17906)

Muito obrigado cara!!!
undefinied32Auto Excluído (ID:17906)2: 3 Resp.; 1263 Exibições; Últ. msg por Auto Excluído (ID:17906)
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Primeira Postagem

Auto Excluído (ID:17906)

Encontre todos os pares [tex3](p, n)[/tex3] para que [tex3]p[/tex3] seja um número primo e [tex3]n[/tex3] seja um inteiro positivo.
[tex3]p^3-2p^2+p+1=3^n[/tex3]

Últ. msg

Andre13000

Sem perda de generalidade, pode-se substituir 3 por uma variável qualquer, x.

[tex3]p^3-2p^2+p+1=x^n\\
p(p^2-2p+1)=x^n-1\\
p(p-1)^2=\prod_{k|n}\Phi_k(x)[/tex3]

Agora só temos que achar o maior número n que tenha no máximo três divisores, que é 4....
Andre130001undefinied31Auto Excluído (ID:17906)1: 2 Resp.; 1308 Exibições; Últ. msg por Andre13000
29 Mai 2017, 22:21

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