Ensino Superior ⇒ Derivada equações diferenciais lineares de 1º Ordem

[Solomonkane]

Minha dúvida é por que o (x) sai dividindo toda a equação,pois faltei a essa aula Valeu!!

[tex3]x\frac{dy}{dx}+2y=4x^2[/tex3]

[Solomonkane]

Gostaria de saber o nome do metodo desta variavel que divide praticamente toda equação!? Valeu !!

[Solomonkane]

Minha dúvida é por que o (x) sai divdindo toda a equação,pois faltei a essa aula Valeu!!

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[Solomonkane]

Minha dúvida esta na variavel x que multiplica dy/dx

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[tex3]x\frac{dy}{dx}+2y=4x²[/tex3]

[Andre13000]

Seguinte:

Sempre que você tiver uma equação diferencial na forma:

[tex3]y'+yQ(x)=H(x)[/tex3]

Você pode usar a seguinte regra de derivação a seu favor

[tex3](uv)'=u'v+uv'[/tex3]

Desse modo, podemos fazer o seguinte:

[tex3]y'I(x)+yQ(x)I(x)=H(x)I(x)[/tex3]

Onde [tex3]I(x)[/tex3] é uma função tal que corrigirá o nossa equação para que possamos reduzi-la.

[tex3]u'=y'\\
u=y\\
v=I(x)\\
v'=I(x)Q(x)\\
(uv)'=I(x)H(x)\\
(I(x)y)'=I(x)H(x)\\\therefore y=\frac{1}{I(x)}\int I(x)H(x)~dx+C[/tex3]

Ainda:

[tex3](I(x)y)'=I(x)H(x)=y'I(x)+yQ(x)I(x)\\
(I(x)y)'=y'I(x)+yQ(x)I(x)\\
I'(x)\cancel{y}+\cancel{I(x)y'}=\cancel{y'I(x)}+\cancel yQ(x)I(x)\\
I'(x)=Q(x)I(x)\\
\frac{I'(x)}{I(x)}=Q(x)\\
\int \frac{I'(x)}{I(x)}~dx=\int Q(x)~dx\\
\ln I=\int Q(x)~dx\\
I=e^{\int Q(x)~dx}[/tex3]

Que é o nosso fator integrante.

Portanto:

[tex3]y'+yQ(x)=H(x)\\
(y'+yQ(x))\cdot e^{\int Q(x)~dx}=H(x)\cdot e^{\int Q(x)~dx}\\
\left(ye^{\int Q(x)~dx}\right)'=H(x)\cdot e^{\int Q(x)~dx}\\
y=\frac{1}{e^{\int Q(x)~dx}}\int e^{\int Q(x)~dx}H(x)~dx+C[/tex3]

Só pra constar, ninguém memoriza essa fórmula. Só multiplique os dois membros pelo fator integrante e desenvolva o resto.

No seu caso:[tex3]x\frac{dy}{dx}+2y=4x^2[/tex3]

Se você for esperto verá que:

[tex3]x^2y'+2xy=(x^2y)'\\\therefore \left(xy'+2y\right)x=(4x^2)x\\
x^2y'+2xy=4x^3\\
(x^2y')=4x^3[/tex3]

E a partir daí resolve-se o resto. Mas usando o método do fator integrante:

[tex3]xy'+2y=4x^2[/tex3]

DIVIDE-SE POR X POIS SE QUER ISOLAR O Y', tendo em vista que a fórmula só funciona para equações diferenciais da forma que eu mostrei lá encima. O fator integrante fica [tex3]x^2[/tex3].

[Solomonkane]

Obrigado!