Pré-Vestibular ⇒ (UFC-CE) Soma e produto de funções pares e ímpares Tópico resolvido

[Betomoore]

Olá, bom dia! Alguém poderia me ajudar a compreender esse conteúdo? Essas duas questões ilustram bem aonde está a minha dificuldade... soma e produto de funções pares e ímpares.
Muito obrigado desde já!

(UFC-CE) Sejam f e g funções não identicamente nulas. Se f é par e g é ímpar, assinale
a alternativa que contém todas as afrmações
necessariamente corretas.
I. f + g é par.
II. f + g é ímpar.
III.f . g é par.
IV. f . g é ímpar.
V. f + g² é par.
a) I e III
b) III e IV
c) III e V
d) IV e V
e) V

Resposta

---

D

[csmarceloMOD]

Boa tarde, Beto. Tudo bem?

Pelas regras do fórum, você deve postar apenas uma questão por tópico. Isso auxilia e muito na pesquisa de questões.

Peço que crie um novo tópico para o segundo enunciado.

[csmarceloMOD]

Se a função [tex3]f[/tex3] é par, então [tex3]f(-x)=f(x)[/tex3].
Se a função [tex3]g[/tex3] é ímpar, então [tex3]g(-x)=-g(x)[/tex3].

I. f + g é par.
II. f + g é ímpar.

De um lado,
[tex3]f+g=f(x)+g(x)[/tex3]

De outro,
[tex3]f+g=f(-x)+g(-x)=f(x)-g(x)[/tex3]

Repare que a função resultante não é nem par nem ímpar.

III.f . g é par.
IV. f . g é ímpar.

De um lado,
[tex3]f\cdot g=f(x)\cdot g(x)[/tex3]

De outro,
[tex3]f\cdot g=f(-x)\cdot g(-x)=f(x)\cdot[-g(x)]=-[f(x)\cdot g(x)][/tex3]

Repare que a função resultante é ímpar.

V. f + g² é par.

Se [tex3]h=g^2[/tex3], então,

[tex3]h(x)=g(x)^2[/tex3]
[tex3]h(-x)=(g(-x))^2=(-g(x))^2=g(x)^2[/tex3]

Logo, [tex3]h(x)=h(-x)[/tex3], que é o caracteriza uma função par.

De um lado,
[tex3]f+h=f(x)+h(x)[/tex3]

De outro,
[tex3]f+g=f(-x)+h(-x)=f(x)+h(x)[/tex3]

Repare que a função resultante é par.