Física III ⇒ (Apostila PENSI) Lei de Gauss Tópico resolvido

[Gu178]

Em uma esfera isolante de raio R e densidade volumétrica de carga [tex3]\rho[/tex3] foi feita uma cavidade esférica de diâmetro R que tangencia a esfera isolante. Dentro dessa cavidade é inserido um pêndulo simples carregado eletricamente e seu período se reduz a um terço do que era antes, ao oscilar sujeito apenas ao campo gravitacional. Sabe-se que a massa da esfera pendular é m, a gravidade local é g e a permissividade elétrica no interior da cavidade é [tex3]\varepsilon[/tex3]. Qual a carga elétrica da esfera?

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Período de um pêndulo simples: [tex3]T=2\pi\sqrt{\frac{l}{a}}[/tex3], , onde l é o comprimento do fio e a é a aceleração resultante vertical desconsiderando a ação do fio.

Resposta

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[tex3]\frac{48mg\varepsilon _{0}}{\rho a}[/tex3]

[LucasPinafiMOD]

Suponha que a bolinha é um ponto material.
Pelo princípio da superposição, temos que [tex3]\vec E_1 = \vec E_2 + \vec E _3[/tex3], onde:
[tex3]\vec E_ 1[/tex3] é o campo elétrico da esfera sem a cavidade
[tex3]\vec E_2[/tex3] é o campo elétrico que a esfera que foi retirada exerceria
[tex3]\vec E_3[/tex3] é o campo elétrico da esfera com a cavidade.
Como o campo é radial, podemos passar para a notação escalar [tex3]E_3 = E_1 - E_2[/tex3] (i)
Pela Lei de Gauss, temos que [tex3]E_1 = \frac{Q}{4\pi \varepsilon R^2}[/tex3] e [tex3]E_2 = \frac{Q'}{4\pi \varepsilon (R/2)^2} = \frac{Q'}{\pi \varepsilon R^2}[/tex3].
onde [tex3]Q = \frac 4 3 \pi R^3 \rho[/tex3] e [tex3]Q' = \frac 4 3 \pi \left(\frac R 2 \right)^3\rho = \frac 1 6 \pi R^3\rho[/tex3], de modo que:
[tex3]E_3 = \frac{ R \rho }{3 \varepsilon } - \frac{R\rho }{6\varepsilon } = \frac{R\rho}{6\varepsilon }[/tex3]
Agora, como T' = 1/3 T, temos que:
[tex3]2\pi \sqrt{\frac{\ell}{g+ \frac{Eq} m }} = \frac 1 3 \cdot 2\pi \sqrt{\frac{\ell}{g}}[/tex3]
[tex3]9 \left( \frac{1}{g+ \frac{Eq} m } \right) = \frac 1 g \therefore 9g = g + \frac{Eq}{m}\therefore q = \frac{8gm}{E}[/tex3]
[tex3]q = \frac{8gm}{\dfrac{R\rho}{6 \varepsilon }} = \frac{48mg\varepsilon }{R\rho}[/tex3]
Obs.: foi considerado que a esfera tangenciava o círculo mostrado.

[undefinied3]

Primeiro demonstremos que o campo numa cavidade dentro de uma esfera depende apenas da distância que une o centro das duas esferas..
Podemos imaginar essa composição esfera+cavidade como uma esfera completa carregada de raio R com carga positiva [tex3]\rho[/tex3] e uma outra esfera carregada de raio r com carga [tex3]-\rho[/tex3]. A superposição dos dois efeitos irá gerar o que queremos.
Pra esfera carregada, usando a lei de gauss e uma gaussiana de tamanho [tex3]a+r[/tex3], de forma que a é a distância do centro da esfera maior até o centro da esfera menor: [tex3]\vec{E_1} =\frac{(\vec{a}+\vec{r})\rho}{3\epsilon}[/tex3]
Para a esfera menor, teremos [tex3]\vec{E_2}=-\frac{\vec{r}\rho}{3\epsilon}[/tex3]
O campo desejado é a soma dos dois resultados, que fica [tex3]\vec{E_R}=\frac{\vec{a}\rho}{3\epsilon}[/tex3]

Sabendo disso, numa situação com o campo elétrico, temos:
[tex3]ma=mg+qE \rightarrow a = g+\frac{qb\rho}{3m\epsilon}[/tex3]
No caso, [tex3]b=\frac{R}{2}[/tex3], então: [tex3]a = g+\frac{qR\rho}{6m\epsilon}[/tex3]

Na situação inicial:
[tex3]T=2\pi\sqrt{\frac{l}{g}}[/tex3]
Na final:
[tex3]\frac{T}{3}=2\pi\sqrt{\frac{l}{a}}[/tex3]
Dividindo e elevando ao quadrado:
[tex3]9=\frac{a}{g} \rightarrow a=9g \rightarrow g+\frac{qR\rho}{6m\epsilon}=9g[/tex3]
[tex3]\therefore q=\frac{48mg\epsilon}{R\rho}[/tex3]

Esse a no gabarito era pra ser um R, não?

EDIT: Welp, postaram antes, vou deixar aqui do mesmo jeito.

[Gu178]

Obrigado mesmo, vocês me ajudaram muito.