Olimpíadas ⇒ Olimpíada do Azerbaijão - 2015 - Álgebra Tópico resolvido

[Auto Excluído (ID:17906)]

Encontre todas as soluções inteiras não negativas da equação [tex3]2013^{x} + 2014^{y} = 2015^{z}[/tex3].

[undefinied3]

Com x y z inteiros ou reais? Porque se forem reais, existem infinitas soluções.

[Auto Excluído (ID:17906)]

Com x y z inteiros ou reais? Porque se forem reais, existem infinitas soluções.

Creio que sejam todas as soluções inteiras não negativas.

[Auto Excluído (ID:12031)]

suponha que exista uma solução e tire [tex3]\mod 2013[/tex3] dos dois lados

[tex3]0 + 1 \equiv 2^z \mod 2013[/tex3]

de onde [tex3]z = k*60[/tex3](acredite se quiser, [tex3]2^{60} \equiv 1 \mod 2013[/tex3] o teorema de euler poderia ajudar um pouco a ver isso)
https://en.wikipedia.org/wiki/Euler%27s_theorem

tirando mod 5
[tex3](-2)^x + (-1)^y \equiv 0 \mod 5[/tex3]

para [tex3]y[/tex3] par [tex3]x \equiv 2 \mod 4[/tex3]
para [tex3]y[/tex3] ímpar [tex3]x = 4*t[/tex3]

de onde, [tex3]x[/tex3] é par.

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[tex3]2014^y = 2015^{60k} - 2013^{2t} = (2015^{30k} - 2013^t)(2015^{30k} + 2013^t)[/tex3]

vamos resolver então:
[tex3]\begin{cases}
2015^{30k} -2013^t = 2014^m \\
2015^{30k}+2013^t = 2014^{y-m}
\end{cases}[/tex3]
some as duas: [tex3]2*2015^{30k} = 2014^m + 2014^{y-m}[/tex3]
tiremos [tex3]\mod 2014[/tex3] dos dois lados
[tex3]2 \equiv 0 + 0 \mod 2014[/tex3]
logo a equação não possui soluções inteiras positivas.

Eu acho que me precipitei nessa última conclusão...

[Auto Excluído (ID:17906)]

Muito obrigado cara!!!