Física III ⇒ (Farias Brito) Campo Elétrico Tópico resolvido

[Gu178]

Um aluno muito curioso estava estudando eletricidade e teve uma ideia nada convencional. Ele imaginou duas esferas de mesmo raio R e com distribuições volumétricas de carga +ρ e –ρ, respectivamente, e que estão posicionadas de forma que se sobrepõem parcialmente. Chame o vetor do centro positivo até o centro negativo de [tex3]\vec{d}[/tex3] (a linha que liga os centros é horizontal). Nesta região de interseção ele imaginou um pêndulo simples (carregado) e este começa a oscilar com ângulos pequenos. Se m é a massa do pêndulo, g é o módulo da gravidade na região, l é o comprimento do fio e T é o período das pequenas oscilações, o garoto pode afirmar que a carga do pêndulo é dada por:

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Resposta

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[tex3]Q=\frac{3\varepsilon _{o}m}{\rho d}\sqrt{l^2(\frac{2\pi }{T})^4-g^2}[/tex3]

[LucasPinafiMOD]

De modo geral, temos que para um pêndulo qualquer (que se move segundo pequenas oscilações),

[tex3]T= 2\pi \sqrt{\frac{\ell}{g}}[/tex3]

onde [tex3]g[/tex3] é o módulo da gravidade sentida pelo pêndulo. O exercício consiste basicamente em calcular a gravidade sentida pela esfera. Acompanhe o raciocínio algébrico abaixo, sabendo que [tex3]\hat x[/tex3] indica o vetor unitário na direção horizontal e [tex3]\hat y[/tex3] o vetor unitário na direção vertical.

[tex3]\begin{aligned}E & = E_1 + E_2 \\ & = \frac{Q}{4\pi \varepsilon_0 \left(d/2\right)^2} + \frac{Q}{4\pi \varepsilon_0 \left(d/2 \right)^2} \\ & = \frac{\frac{4}{3}\pi \rho \left(d/2 \right)^3}{4\pi \varepsilon_0 \left(d/2\right)^2} + \frac{\frac{4}{3}\pi \rho \left(d/2 \right)^3}{4\pi \varepsilon_0 \left(d/2 \right)^2} \\ & = \frac{\rho d}{3\varepsilon_0} \\ \vec E & = \frac{\rho d}{3\varepsilon_0} \hat{x} \end{aligned}[/tex3]

Agora, temos que:

[tex3]\begin{aligned} \left(\vec g \right)' & = \vec g + \frac{q}{m} \vec E \\ & = g \hat y + \frac q m \left(\frac{q\rho d}{3m\varepsilon_0 } \right) \hat x \\ g & = \sqrt{g^2 + \left(\frac{q\rho d}{3m \varepsilon_0} \right)^2 } \end{aligned}[/tex3]

Agora, basta substituir esse resultado na equação para T e isolar q.

[Andre13000]

Como você pode simplesmente somar vetorialmente e dar certo? Nos meus olhos isso não poderia, mas funciona. Pode demonstrar?

[Andre13000]

[tex3]I\alpha=-mgL\sen\theta+\frac{q\rho d}{3m\varepsilon_0}\cos\theta\\[/tex3]?

Estaria essa equação certa? Não consigo sair daqui e chegar no seu resultado

[LucasPinafiMOD]

Talvez esteja, mas daí não sei se poderia usar aquela aproximação que se usa para o pêndulo simples... isso pq a nova vertical não será mais da direção de g e sim de g' ...
vc pode fazer isso usando o princípio da equivalência

[Gu178]

Obrigado Lucas.

[Andre13000]

entendi.