Olimpíadas ⇒ Olimpíada do Cazaquistão - 2015 - Álgebra

[Auto Excluído (ID:17906)]

Resolva a equação, [tex3]x^{y}y^{x} = (x + y)^{z}[/tex3].
Sabendo que [tex3]x, y, z[/tex3] devem pertencer ao conjunto dos inteiros positivos.

[undefinied3]

[tex3]x+y=x^\frac{y}{z}.y^\frac{x}{z}[/tex3]
Então z deve dividir x e y, assim:
[tex3](az)^{bz}(bz)^{az}=(az+bz)^z \rightarrow abz^2=az+bz[/tex3]
[tex3]abz^2-az-bz=0 \rightarrow (az-1)(bz-1)=1[/tex3]
Como são inteiros:
[tex3]\begin{cases}
az-1=1 \rightarrow az=2 \\
bz-1=1 \rightarrow bz=2
\end{cases}[/tex3]
Novamente, como são inteiros e positivos, temos os (a,z) e (b,z): (2,1) (1,2)
Verificando:
[tex3]x=y=2 \rightarrow 2^22^2=(4^z) \rightarrow 2^4=2^{2z} \rightarrow z=2[/tex3]
Então (2,2,2) é solução.
[tex3]\begin{cases}
az-1=-1 \rightarrow az=0 \\
bz-1=-1 \rightarrow bz=0
\end{cases}[/tex3]
Não convém.

Então a única solução é (2,2,2)

Hm... vendo melhor, z não deve necessariamente dividir x ou y... Vou pensar melhor.

[undefinied3]

Se z não divide y, então ele não poderá dividir x também, porque nesse caso teríamos um absurdo.
Pro caso z não divide x e y, deveremos ter ainda sim [tex3]x^\frac{y}{z}.y^\frac{x}{z}[/tex3] como inteiro, e isso só acontecerá se y possuir os fatores que completam x pra que isso dê inteiro. O que eu quero dizer é, imagine que [tex3]x=3^2.5^2[/tex3] e z=3, então y deverá ser [tex3]3^{3\alpha-2}.5^{3\alpha-2}[/tex3], ou no geral, se [tex3]x=p_1^{a_1}.p_2^{a_2}...p_n^{a_n}[/tex3] então [tex3]y=p_1^{z\alpha_1-a_1}...p_n^{z\alpha_n-a_n}[/tex3], podendo incluir fatores que x não possua desde que eles estejam elevado a uma potência divisível por z. Isso significa que [tex3]xy=u^z.k^z[/tex3], sendo u o produto de todos os fatores comuns entre x e y e z os que x ou y podem ter a mais que o outro.

[tex3]\frac{u^zk^z}{y}+y=\frac{u^yk^y}{y^\frac{y}{z}}.y^\frac{x}{z} \rightarrow u^zk^z+y^2=u^yk^yy^\frac{x-y+z}{z}[/tex3]
Então devemos ter [tex3]z|(x-y)[/tex3]
Mas de maneira análoga, podemos fazer:
[tex3]x+\frac{u^zk^z}{x}=x^\frac{y}{z}.\frac{u^xk^x}{x^\frac{x}{z}} \rightarrow x^2+u^zk^z=u^xk^xx^\frac{y-x+z}{z}[/tex3]
E deveriamos ter [tex3]z|(y-x)[/tex3]
Daí tiramos que [tex3]z|2x[/tex3] e [tex3]z|2y[/tex3]
Mas tudo isso foi feito supondo que z não divide x e z não divide y, o que resultaria em [tex3]z|2[/tex3], gerando as únicas duas possibilidades z=1, mas se z=1, z dividiria x e y, absurdo, então resta verificar z=2 e x e y devem ser ímpares.
[tex3]x^yy^x=(x+y)^2 \rightarrow (2a-1)^{2b-1}(2b-1)^{2a-1}=(2a+2b-2)^2[/tex3]
O que gera outro absurdo, pois o número elevado ao quadrado é par, e portanto o resultado será par, enquanto o lado esquerdo é um produto de ímpares, que sempre será ímpar. Portanto não há solução quando z não divide x ou y.

Resposta: (2,2,2)

Acho que é isso.

[Auto Excluído (ID:17906)]

Muito obrigado cara!!!