Ensino Médio ⇒ EUA) Determine valor mínimo da expressão Tópico resolvido

[anatercia]

EUA) Determine valor mínimo da expressão sec⁴(a)/ tg²(b) + sec⁴(b)/tg²(a):

com a e b diferentes de Kpi/2 e k inteiro.

Resposta

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resposta: 08

[undefinied3]

A expressão é positiva, assim vale a desigualdade das médias:

[tex3]\frac{sec^4(a)}{tg^2(b)}+\frac{sec^4(b)}{tg^2(a)} \geq 2\sqrt{\frac{sec^4(a)sec^4(b)}{tg^2(b)tg^2(a)}}[/tex3]
Agora veja:
[tex3]\frac{sec^4(a)sec^4(b)}{tg^2(b)tg^2(a)}=\frac{\frac{1}{cos^4(a)cos^4(b)}}{\frac{sen^2(a)sen^2(b)}{cos^2(a)cos^2(b)}}=\frac{1}{sen^2(a)cos^2(a)sen^2(b)cos^2(b)}=\frac{16}{sen^2(2a)sen^2(2b)}[/tex3]
Então:
[tex3]\frac{sec^4(a)}{tg^2(b)}+\frac{sec^4(b)}{tg^2(a)} \geq 2.\frac{4}{|sen(2a)sen(2b)|}[/tex3]
Mas o lado esquerdo é claramente positivo, então o módulo só convem o resultado positivo
[tex3]\frac{sec^4(a)}{tg^2(b)}+\frac{sec^4(b)}{tg^2(a)} \geq \frac{8}{sen(2a)sen(2b)}[/tex3]
Pra minimizar o lado direito, basta tomar [tex3]2a=2b=\frac{\pi}{2} \rightarrow a=b=\frac{\pi}{4}[/tex3] de maneira que [tex3]\frac{8}{sen(2a)sen(2b)}=8[/tex3]

De fato, é um valor possível para o lado esquerdo, basta substituir a e b:
[tex3]\frac{sec^4(\pi/4)}{tg^2(\pi/4)}+\frac{sec^4(\pi/4)}{tg^2(\pi/4)}=\frac{4}{1}+\frac{4}{1}=8[/tex3]