Ensino Superior ⇒ Geometria Analítica no Espaço: Ângulo entre Planos

[reLaN]

São dados os planos [tex3]\pi :x+y-2z=0[/tex3] e [tex3]\sigma :2x-y-4z=4.[/tex3]
Determine:

a) O vetor diretor da reta gerada pela intersecção entre os planos dados.
b) O cosseno do ângulo entre esses planos.

Solução do item (a)

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A reta [tex3]r[/tex3] gerada da interseção entre os planos deve ter pontos comuns entre [tex3]\pi[/tex3] e [tex3]\sigma[/tex3] então montei o sistema:

[tex3]x+y-2z=0[/tex3]
[tex3]2x-y-4z=4[/tex3]

Achei como solução [tex3]S :\(\frac{4+6z}{3},\frac{-4}{3},z\)[/tex3]

Tomei o ponto [tex3]A[/tex3] para [tex3]z=1[/tex3] e o ponto [tex3]B[/tex3] para [tex3]z=2[/tex3]

Então o vetor diretor é:

[tex3]\vec{d}=B-A=\alpha(2,0,1)[/tex3]

Porém não consigo o item (b). Agredeço desde já.

Resposta do item (b)

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[tex3]\pm \frac{3}{\sqrt{14}}[/tex3]

[aprendiz123]

Os vetores direcionais são:

[tex3]\vec{n}_1=(1,1,-2)\\
\vec{n}_2=(2,-1,-4)\\
|\vec{n}_1|=\sqrt{6}\\
|\vec{n}_2|=\sqrt{21}[/tex3]

[tex3]cos \theta=\frac{|(1,1,-2).(2,-1,-4)|}{\sqrt{6}.\sqrt{21}}[/tex3]

[tex3]cos \theta=\frac{|1-1+8|}{3\sqrt{14}}[/tex3]

[tex3]cos \theta=\frac{9}{3\sqrt{14}} = \frac{3}{\sqrt{14}}[/tex3]