Ensino Superior ⇒ Geometria Analítica no Espaço: Reta

[aprendiz123]

Achar as equaçoes de uma reta [tex3](m)[/tex3] que passa pelo ponto [tex3]M(3,2,1)[/tex3] e é coplanar com a reta [tex3](s)[/tex3] e ortogonal à reta [tex3](u),[/tex3] sendo (s): [tex3]x-2=\frac{y-1}{-1}=\frac{z-1}{2}[/tex3] e [tex3](u):(x,y,z)=(-1,2,-3)+t(3,5,6)[/tex3]

Resposta:

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[tex3]x-3=\frac{y-2}{9}=\frac{z-1}{-8}[/tex3]

[reLaN]

Sejam as retas [tex3]m[/tex3] e [tex3]s[/tex3]:

[tex3]m[/tex3] :[tex3]X = (3,2,1)+\alpha(a,b,c)[/tex3]

[tex3]s[/tex3] :[tex3]x-2=-y+1=\frac{z-1}{2}[/tex3]

Para colocar [tex3]s[/tex3] na forma vetorial chamo todos de [tex3]p[/tex3] e temos o sistema:

[tex3]x-2=p[/tex3]
[tex3](-y)+1 = p[/tex3]
[tex3]z-1 = 2p[/tex3]

[tex3]x=2+p[/tex3]
[tex3]y=1-p[/tex3]
[tex3]z=1+2p[/tex3]

[tex3](x,y,z)=(2,1,1) + p(1,-1,2)[/tex3]

Vemos que [tex3]p[/tex3] representa todos os vetores que são paralelos à [tex3](1,-1,2)[/tex3] então vou chamá-lo de [tex3]\beta[/tex3] por uma questão de notação, então vem:

[tex3]s[/tex3] :[tex3]X={(2,1,1)}+\beta(1,-1,2)[/tex3]

Se [tex3]m[/tex3] e [tex3]s[/tex3] são coplanares então elas e o vetor determinado pelos respectivos pontos dados são L.D. Então podemos montar o seguinte determinante:

[tex3](-1)[/tex3] [tex3](-1)[/tex3] [tex3]0[/tex3]
[tex3]a[/tex3] [tex3]b[/tex3] [tex3]c[/tex3] [tex3]=0[/tex3] (espero sinceramente que de para intender)
[tex3]1[/tex3] [tex3](-1)[/tex3] [tex3]2[/tex3]

Então resolvendo temos:

[tex3]a-b-c=0[/tex3]

Porém se são [tex3]m[/tex3] e [tex3]u[/tex3] são ortogonais, isso significa que além de serem reversas, os vetores diretores fazem 90º. Se as retas [tex3]m[/tex3] e [tex3]u[/tex3] são reversas, o conjunto formado por elas e o vetor determinado pelo ponto dado dela é L.I. então montamos um determinante semelhando ao montado e chegamos em :

[tex3]5a+3b-5c\cancel{=}0[/tex3]

Se formam 90º o produto interno entre os vetores diretores de [tex3]m[/tex3] e [tex3]r[/tex3] é zero:

[tex3]<(a,b,c),(3,5,6)>=0[/tex3]
[tex3]3a+5b+6c=0[/tex3]

Montamos outro sistema com o que descobrimos sobre a,b e c

[tex3]a-b-c=0[/tex3]
[tex3]3a+5b+6c=0[/tex3]

Cuja solução em relação a c é

[tex3]S[/tex3]: [tex3](\frac{-c}{8},\frac{-9c}{8},c)[/tex3]

Devemos escolher a,b e c de modo que [tex3]5a+3b-5c \cancel{=}0[/tex3] então:

[tex3]\frac{-5c}{8}+\frac{-27c}{8}-\frac{40c}{8}\cancel{=}0 \Rightarrow c\cancel{=}0[/tex3]

Para termor o vetor diretor de [tex3]m[/tex3] com números inteiros podemos tomar c=-8 e colocar em [tex3]S[/tex3]

assim teremos [tex3]S[/tex3]: [tex3](a,b,c)=(1,9,-8)[/tex3]

E por fim a equação da reta [tex3]m[/tex3] é:

[tex3]m[/tex3] :[tex3]X=(3,2,1)+\gamma(1,9,-8)[/tex3]

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espero que não tenha ficado confuso, se alguém souber como colocar matrizes, determinantes e sistemas e puder me dar algumas dicas ficarei agradecido !

[aprendiz123]

Obrigado

Link com explicações sobre latex:
http://www.tutorbrasil.com.br/forum/tutorial_tex.php