Olimpíadas ⇒ Soluções Racionais de uma Equação Tópico resolvido

[triplebig]

Sempre queria saber quando criança se existem outros números [tex3]x[/tex3] e [tex3]y[/tex3] além de [tex3]\{2,2\}[/tex3] e [tex3]\{3, 1,5\}[/tex3] tais que:

• [tex3]xy\,=\,x+y[/tex3]

Existem, no conjunto dos números racionais?

[Eusouumbolinhodebatata]

Escolhendo um [tex3]x[/tex3] qualquer e reescrevendo a equação como

• [tex3]xy-y=x[/tex3]
  
  [tex3]y=\frac{x}{x-1}[/tex3]

Temos assim uma "fábrica" de pares com a propriedade que você quer.

Infelizmente fica difícil achar empiricamente já que temos uma fração com paridades diferentes, logo, o único par de inteiros com essa propriedade é [tex3](2,2).[/tex3]

Como ilustração, tomando [tex3]x=6[/tex3] teremos [tex3]y=1,2[/tex3] e com uma continha rápida notamos que [tex3]6+1,2=6(1,2)=7,2.[/tex3]

A fórmula não cobre o caso onde [tex3]x=1,[/tex3] mas aí é fácil analisar já que a propriedade inicial ficaria.

• [tex3]y.1=y+1[/tex3]

E, obviamente, não temos nenhum [tex3]y[/tex3] que satisfaça.

Por fim, o par mais óbvio nós não enxergamos de cara [tex3](0,0).[/tex3]