Ensino Médio ⇒ Inequação Trigonométrica - Polias Associadas Tópico resolvido

[ismaelmat]

80.486-Uma correia contorna duas polias, de 5cm e 13cm de raio e centros O e C, respectivamente, sendo P e Q pontos de tangência da parte reta da correia com as polias, conforme mostra a figura. Se a distância PQ deve ser maior que 16cm, quais são as possíveis medidas de um ângulo agudo formado pelas retas PQ e OC?

Gabarito: 0º < [tex3]\alpha[/tex3] < 30º

[rippertoru]

Olá Amigo.

A solução é bem simples.

Supondo que o ângulo formado entre a reta PQ e a horizontal é [tex3]\alpha[/tex3], temos que:
[tex3]sen(\alpha) = \frac{cateto \ oposto}{hipotenusa}[/tex3]

O cateto oposto será a diferença entre os raios das polias:
[tex3]cateto\ oposto\ = 13 - 5 = 8 cm[/tex3]

Sendo assim, consideremos o caso onde o segmento PQ tem comprimento 16 cm

[tex3]sen(\alpha) = \frac{8}{16} = \frac{1}{2}[/tex3]

Fazendo:
[tex3]\alpha = arcsen(\frac{1}{2}) = 30^{\circ}[/tex3]

Note que fazendo a hipotenusa tender a infinito, o [tex3]sen(\alpha)[/tex3] tende a zero, sendo assim, para valores muitos grandes de PQ, temos:

[tex3]\alpha = 0[/tex3]

Logo:
[tex3]0^{\circ} < \alpha < 30^{\circ}[/tex3]

Espero ter ajudado!