Ensino Superior ⇒ Geometria Analítica no Espaço: Reta Tópico resolvido

[aprendiz123]

Encontrar a equação de uma reta [tex3]r[/tex3] que passa no ponto [tex3]A(3,3,2),[/tex3] é concorrente com o eixo [tex3]Oy[/tex3] e ortogonal à reta [tex3](s):\begin{cases}y=-x\\z=x+3\end{cases}[/tex3]

Resposta:

---

[tex3]\frac{x-3}{3}=y-3=\frac{z+2}{-2}[/tex3]

[Cardoso1979]

Observe

Eba!!!!! Mais uma questão com gabarito , e ajudou bastante, por isso a necessidade de se postar o gabarito ou as alternativas ou a Fonte.

Uma solução:

O ponto A é na realidade A( 3 , 3 , - 2 ). Descobri por conta do gabarito que você postou

Um ponto do eixo Oy é da forma P( 0 , y , 0 ).

Como a reta r é concorrente com o eixo Oy, então um vetor diretor de r é :

[tex3]\vec{v} = \vec{PA}[/tex3] = A - P = ( 3 , 3 , - 2 ) - ( 0 , y , 0 ) → [tex3]\vec{v}[/tex3] = ( 3 , 3 - y , - 2 ). ( I )

Vamos agora encontrar um vetor diretor da reta s , para isso , precisamos de dois pontos pertencentes a ela, temos:

Se x = 0 → y = 0 e z = 3 → Q( 0 , 0 , 3 ).

Se x = 1 → y = - 1 e z = 4 → R( 1 , - 1 , 4 ).

Cálculo do vetor diretor de s:

[tex3]\vec{QR}[/tex3] = R - Q = ( 1 , - 1 , 4 ) - ( 0 , 0 , 3 ) → [tex3]\vec{QR}[/tex3] = ( 1 , - 1 , 1 ).


A questão diz ainda que r é ortogonal a s, significa dizer que os seus vetores diretores são perpendiculares, daí

[tex3]\vec{v}.\vec{QR}[/tex3] = 0

( 3 , 3 - y , - 2 ).( 1 , - 1 , 1 ) = 0

3 - 3 + y - 2 = 0

y = 2

Substituindo y = 2 em ( I ), vem;

[tex3]\vec{v}[/tex3] = ( 3 , 3 - 2 , - 2 )

[tex3]\vec{v}[/tex3] = ( 3 , 1 , - 2 ).

Assim, como r passa pelo ponto A( 3 , 3 , - 2 ) e tem como vetor diretor [tex3]\vec{v}[/tex3] = ( 3 , 1 , - 2 ), logo a reta r procurada é:

r : [tex3]\frac{x-3}{3}= \frac{y-3}{1}=\frac{z+2}{-2}[/tex3]

Ou

r : [tex3]\frac{x-3}{3}= y-3 =\frac{z+2}{-2}[/tex3]



Excelente estudo!